ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 620 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Если из числителя и знаменателя обыкновенной дроби вычесть по 2, то значение этой дроби уменьшится на 1/6, а если к числителю и знаменателю прибавить по 2, то значение дроби увеличится на 1/12. Найдите эту дробь.

Пусть \(\frac{m}{n}\) — заданная дробь, тогда:
\[
\frac{m — 2}{n — 2} = \frac{m}{n} — \frac{1}{6}, \quad \frac{m + 2}{n + 2} = \frac{m}{n} + \frac{1}{12}.
\]

1) Первое уравнение:

\[
6n(m — 2) = 6m(n — 2) — n(n — 2);
\]

\[
6mn — 12n = 6mn — 12m — n^2 + 2n;
\]

\[
12m — 12n = 2n — n^2;
\]

2) Второе уравнение:

\[
12n(m + 2) = 12m(n + 2) + n(n + 2);
\]

\[
12mn + 24n = 12mn + 24m + n^2 + 2n;
\]

\[
24n — 24m = n^2 + 2n;
\]

\[
-2(2n — n^2) = n^2 + 2n;
\]

\[
2n^2 — 4n = n^2 + 2n;
\]

\[
n^2 = 6n, \quad n = 6;
\]

3) Первое уравнение:

\[
12m — 72 = 12 — 36;
\]

\[
12m = 48, \quad m = 4;
\]

Ответ:

\[
\frac{4}{6}.
\]

Задача:

Пусть \( \frac{m}{n} \) — заданная дробь, тогда:

\[
\frac{m — 2}{n — 2} = \frac{m}{n} — \frac{1}{6}, \quad \frac{m + 2}{n + 2} = \frac{m}{n} + \frac{1}{12}.
\]

Шаг 1: Решаем первое уравнение:

\[
\frac{m — 2}{n — 2} = \frac{m}{n} — \frac{1}{6}
\]

Умножаем обе стороны на \(6n(n — 2)\), чтобы избавиться от дробей:

\[
6n(m — 2) = 6m(n — 2) — n(n — 2)
\]

Упрощаем:

\[
6mn — 12n = 6mn — 12m — n^2 + 2n
\]

Получаем:

\[
12m — 12n = 2n — n^2
\]

Шаг 2: Решаем второе уравнение:

\[
\frac{m + 2}{n + 2} = \frac{m}{n} + \frac{1}{12}
\]

Умножаем обе стороны на \(12n(n + 2)\):

\[
12n(m + 2) = 12m(n + 2) + n(n + 2)
\]

Упрощаем:

\[
12mn + 24n = 12mn + 24m + n^2 + 2n
\]

Получаем:

\[
24n — 24m = n^2 + 2n
\]

Решаем для \(n\):

\[
-2(2n — n^2) = n^2 + 2n
\]

Упрощаем:

\[
2n^2 — 4n = n^2 + 2n
\]

Получаем:

\[
n^2 = 6n, \quad n = 6
\]

Шаг 3: Подставляем значение \(n = 6\) в первое уравнение:

\[
12m — 72 = 12 — 36
\]

Решаем для \(m\):

\[
12m = 48, \quad m = 4
\]

Ответ: \( \frac{4}{6} \)