ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 619 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Если к знаменателю обыкновенной дроби прибавить 1, то значение этой дроби уменьшится на 1/6 если из знаменателя этой дроби вычесть 1, то значение дроби увеличится на 1/3. Найдите эту дробь.

Пусть \(\frac{m}{n}\) — данная дробь, тогда:
\[
\frac{m}{n+1} = \frac{m}{n} — \frac{1}{6}, \quad \frac{m}{n-1} = \frac{m}{n} + \frac{1}{3}.
\]

1) Первое уравнение:

\[
6mn = 6m(n + 1) — n(n + 1);
\]

\[
6mn = 6mn + 6m — n^2 — n;
\]

\[
6m = n^2 + n;
\]

2) Второе уравнение:
\[
3mn = 3m(n — 1) + n(n — 1);
\]

\[
3mn = 3mn — 3m + n^2 — n;
\]

\[
3m = n^2 — n;
\]

\[
\frac{1}{2}(n^2 + n) = n^2 — n;
\]

\[
\frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n = n^2 — n;
\]

\[
2n^2 = 2n, \quad n = 3;
\]

3) Первое уравнение:

\[
6m = 9 + 3 = 12;
\]

\[
m = \frac{12}{6} = 2;
\]

Ответ:

\[
\frac{2}{3}.
\]

Задача:

Пусть \( \frac{m}{n} \) — данная дробь, тогда:

\[
\frac{m}{n+1} = \frac{m}{n} — \frac{1}{6}, \quad \frac{m}{n-1} = \frac{m}{n} + \frac{1}{3}.
\]

Шаг 1:

Решаем первое уравнение:

\[
\frac{m}{n+1} = \frac{m}{n} — \frac{1}{6}
\]

Умножаем обе стороны на \(6n(n + 1)\), чтобы избавиться от дробей:

\[
6mn = 6m(n + 1) — n(n + 1)
\]

Упрощаем:

\[
6mn = 6mn + 6m — n^2 — n
\]

Выражаем \(m\):

\[
6m = n^2 + n
\]

Шаг 2:

Решаем второе уравнение:

\[
\frac{m}{n-1} = \frac{m}{n} + \frac{1}{3}
\]

Умножаем обе стороны на \(3n(n — 1)\):

\[
3mn = 3m(n — 1) + n(n — 1)
\]

Упрощаем:

\[
3mn = 3mn — 3m + n^2 — n
\]

Выражаем \(m\):

\[
3m = n^2 — n
\]

Шаг 3:

Приравниваем обе выражения для \(m\):

\[
\frac{1}{2}(n^2 + n) = n^2 — n
\]

Умножаем обе стороны на 2:

\[
n^2 + n = 2n^2 — 2n
\]

Упрощаем:

\[
2n^2 = 2n, \quad n = 3
\]

Шаг 4:

Подставляем значение \(n = 3\) в выражение для \(m\):

\[
6m = 9 + 3 = 12
\]

Решаем:

\[
m = \frac{12}{6} = 2
\]

Ответ: \( \frac{2}{3} \)