ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 615 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каком значении m система уравнений {2x-3xy=m, x-y=5} имеет решение?

Дана система уравнений:
\[
\begin{cases}
2x — 3xy = m, \\
x — y = 5
\end{cases}
\]

1) Второе уравнение
\[
y = x — 5
\]

2) Первое уравнение
\[
2x — 3x(x — 5) = m
\]

\[
2x — 3x^2 + 15x = m
\]

\[
3x^2 — 17x + m = 0
\]

Дискриминант:
\[
D = 17^2 — 4 \cdot 3 \cdot m
\]

\[
D = 289 — 12m
\]

3) Условие существования решений:
\[
D \geq 0
\]

\[
289 — 12m \geq 0
\]

\[
12m \leq 289
\]

\[
m \leq \frac{289}{12} = 24 \frac{1}{12}
\]

Ответ:

\[
m \in (-\infty; 24 \frac{1}{12}]
\]

Задача: Дана система уравнений:

\[
\begin{cases}
2x — 3xy = m, \\
x — y = 5
\end{cases}
\]

Шаг 1: Решаем второе уравнение относительно \(y\):

Из второго уравнения \(x — y = 5\) выразим \(y\):

\[
y = x — 5
\]

Шаг 2: Подставляем выражение для \(y\) во первое уравнение:

Подставим \(y = x — 5\) в первое уравнение \(2x — 3xy = m\):

\[
2x — 3x(x — 5) = m
\]

Раскроем скобки:

\[
2x — 3x(x — 5) = 2x — 3x^2 + 15x
\]

Теперь у нас получается:

\[
2x — 3x^2 + 15x = m
\]

Преобразуем это уравнение:

\[
3x^2 — 17x + m = 0
\]

Шаг 3: Найдем дискриминант для этого квадратного уравнения:

Для уравнения вида \(Ax^2 + Bx + C = 0\), дискриминант \(D\) вычисляется по формуле:

\[
D = B^2 — 4AC
\]

В нашем случае \(A = 3\), \(B = -17\), \(C = m\), подставим их в формулу для дискриминанта:

\[
D = (-17)^2 — 4 \cdot 3 \cdot m = 289 — 12m
\]

Шаг 4: Условие существования решений для квадратного уравнения:

Чтобы у квадратного уравнения были решения, дискриминант должен быть неотрицательным:

\[
D \geq 0
\]

Подставляем выражение для дискриминанта:

\[
289 — 12m \geq 0
\]

Теперь решим неравенство:

\[
12m \leq 289
\]

\[
m \leq \frac{289}{12} = 24 \frac{1}{12}
\]

Ответ:

\[
m \in (-\infty; 24 \frac{1}{12}]
\]

Заключение:

Таким образом, система уравнений имеет решения для \(m \in (-\infty; 24 \frac{1}{12}]\).