ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 610 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а) {4x^2-5y^2-3y=-10, 2x^2-3y^2-2y=-6}; в) {2xy-5y=5, 3y^2-2xy=45};

б) {x^2-y^2-2x=-1, -2x^2+3y^2+5x=15}; г) {4x^2-3xy=-8, xy-x=10}.

Решить систему уравнений:

а)
\[
\begin{cases}
4x^2 — 5y^2 — 3y = -10, \\
2x^2 — 3y^2 — 2y = -6.
\end{cases}
\]
Второе уравнение:

\[
2x^2 = 3y^2 + 2y — 6.
\]
Первое уравнение:

\[
2(3y^2 + 2y — 6) — 5y^2 — 3y = -10, \quad 6y^2 + 4y — 12 — 5y^2 — 3y = -10, \quad y^2 + y + 2 = 0.
\]
Дискриминант:

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9.
\]
Корни:

\[
y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1.
\]
Второе уравнение:

\[
2x^2 = 12 — 4 — 6 = 2, \quad x_1 = \pm 1;
\]

\[
2x^2 = 3 + 2 — 6 = -1 \quad (решений нет).
\]

Ответ:*

\((-1; -2); (1; -2).\)

б)
\[
\begin{cases}
x^2 — y^2 — 2x = -1, \\
-2x^2 + 3y^2 + 5x = 15.
\end{cases}
\]
Первое уравнение:

\[
y^2 = x^2 — 2x + 1.
\]
Второе уравнение:

\[
-2x^2 + 3(x^2 — 2x + 1) + 5x = 15, \quad -2x^2 + 3x^2 — 6x + 3 + 5x = 15, \quad x^2 — x — 12 = 0.
\]
Дискриминант:

\[
D = (-1)^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49.
\]
Корни:

\[
x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 4.
\]
Первое уравнение:

\[
y_1^2 = 9 + 6 + 1 = 16, \quad y_1 = \pm 4;
\]

\[
y_2^2 = 16 — 8 + 1 = 9, \quad y_2 = \pm 3.
\]

Ответ:

\((-3; -4); (-3; 4); (4; -3); (4; 3).\)

в)
\[
\begin{cases}
2xy — 5y = 5, \\
3y^2 — 2xy = 45.
\end{cases}
\]
Первое уравнение:

\[
2xy = 5y + 5.
\]
Второе уравнение:

\[
3y^2 — (5y + 5) = 45, \quad 3y^2 — 5y — 5 = 45, \quad 3y^2 — 5y — 50 = 0.
\]
Дискриминант:

\[
D = (-5)^2 + 4 \cdot 3 \cdot 50 = 25 + 600 = 625.
\]
Корни:

\[
y_1 = \frac{5 — 25}{6} = -\frac{5}{3}, \quad y_2 = \frac{5 + 25}{6} = 5.
\]
Первое уравнение:

\[
x_1 = \frac{-20}{3} + \frac{5}{3} = -\frac{35}{3}, \quad x_1 = \frac{7}{4};
\]

\[
10x_2 = 25 + 5 = 30, \quad x_2 = 3.
\]

Ответ:

\( 1 \left(\frac{3}{4}; — 3 \frac{1}{3}\right); (3; 5).\)

г)
\[
\begin{cases}
4x^2 — 3xy = -8, \\
xy — x = 10.
\end{cases}
\]

Второе уравнение:

\[
xy = x + 10.
\]

Первое уравнение:

\[
4x^2 — 3(x + 10) = -8, \quad 4x^2 — 3x — 30 = -8, \quad 4x^2 — 3x — 22 = 0.
\]
Дискриминант:

\[
D = (-3)^2 + 4 \cdot 4 \cdot 22 = 9 + 352 = 361.
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{3 — 19}{8} = -2, \quad x_2 = \frac{3 + 19}{8} = \frac{11}{4}.
\]

Второе уравнение:

\[
-2y_1 = -2 + 10 = 8, \quad y_1 = -4;
\]

\[
\frac{11}{4}y_2 = \frac{11}{4} + 10 = \frac{51}{4}, \quad y_2 = \frac{51}{11}.
\]

Ответ:

\((-2; -4); \left( 2 \frac{3}{4}; 4 \frac{7}{11}\right).\)

Решить систему уравнений:

а) \( \begin{cases} 4x^2 — 5y^2 — 3y = -10, \\ 2x^2 — 3y^2 — 2y = -6. \end{cases} \)

1. Преобразуем уравнения:

Первое уравнение: \( 4x^2 — 5y^2 — 3y = -10 \), преобразуем в \( 4x^2 = 5y^2 + 3y — 10 \).

Второе уравнение: \( 2x^2 — 3y^2 — 2y = -6 \), преобразуем в \( 2x^2 = 3y^2 + 2y — 6 \).

2. Подставляем выражение для \( 2x^2 \) из второго уравнения в первое:

\( 2(3y^2 + 2y — 6) — 5y^2 — 3y = -10 \)

3. Упрощаем:

\( 6y^2 + 4y — 12 — 5y^2 — 3y = -10, \quad y^2 + y + 2 = 0 \)

4. Рассчитываем дискриминант:

\( D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 \)

5. Корни для \( y \):

\( y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \)

6. Подставляем найденные значения \( y \) в уравнение для \( x \):

Для \( y_1 = -2 \), подставляем в \( 2x^2 = 3y^2 + 2y — 6 \):

\( 2x^2 = 12 — 4 — 6 = 2, \quad x_1 = \pm 1 \)

Для \( y_2 = 1 \), подставляем в \( 2x^2 = 3y^2 + 2y — 6 \):

\( 2x^2 = 3 + 2 — 6 = -1, \quad \text{решений нет}. \)

Ответ: \( (-1; -2); (1; -2).\)

б) \( \begin{cases} x^2 — y^2 — 2x = -1, \\ -2x^2 + 3y^2 + 5x = 15. \end{cases} \)

1. Преобразуем уравнения:

Первое уравнение: \( x^2 — y^2 — 2x = -1 \), преобразуем в \( y^2 = x^2 — 2x + 1 \).

Второе уравнение: \( -2x^2 + 3y^2 + 5x = 15 \), подставляем выражение для \( y^2 \) в это уравнение:

\( -2x^2 + 3(x^2 — 2x + 1) + 5x = 15 \)

2. Упрощаем:

\( -2x^2 + 3x^2 — 6x + 3 + 5x = 15, \quad x^2 — x — 12 = 0 \)

3. Рассчитываем дискриминант:

\( D = (-1)^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49 \)

4. Корни для \( x \):

\( x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 4 \)

5. Подставляем найденные значения \( x \) в уравнение для \( y^2 \):

Для \( x_1 = -3 \), подставляем в \( y^2 = x^2 — 2x + 1 \):

\( y_1^2 = 9 + 6 + 1 = 16, \quad y_1 = \pm 4 \)

Для \( x_2 = 4 \), подставляем в \( y^2 = x^2 — 2x + 1 \):

\( y_2^2 = 16 — 8 + 1 = 9, \quad y_2 = \pm 3 \)

Ответ: \( (-3; -4); (-3; 4); (4; -3); (4; 3).\)

в) \( \begin{cases} 2xy — 5y = 5, \\ 3y^2 — 2xy = 45. \end{cases} \)

1. Преобразуем первое уравнение:

\( 2xy — 5y = 5, \quad 2xy = 5y + 5 \)

2. Подставляем во второе уравнение:

\( 3y^2 — (5y + 5) = 45, \quad 3y^2 — 5y — 5 = 45, \quad 3y^2 — 5y — 50 = 0 \)

3. Рассчитываем дискриминант:

\( D = (-5)^2 + 4 \cdot 3 \cdot 50 = 25 + 600 = 625 \)

4. Корни для \( y \):

\( y_1 = \frac{5 — 25}{6} = -\frac{5}{3}, \quad y_2 = \frac{5 + 25}{6} = 5 \)

5. Подставляем значения \( y_1 \) и \( y_2 \) в первое уравнение:

Для \( y_1 = -\frac{5}{3} \), подставляем в \( 2xy = 5y + 5 \):

\( x_1 = \frac{-20}{3} + \frac{5}{3} = -\frac{35}{3} \)

Для \( y_2 = 5 \), подставляем в \( 2xy = 5y + 5 \):

\( x_2 = 3 \)

Ответ: \( \left(\frac{3}{4}; — 3 \frac{1}{3}\right); (3; 5).\)

г) \( \begin{cases} 4x^2 — 3xy = -8, \\ xy — x = 10. \end{cases} \)

1. Преобразуем второе уравнение:

\( xy = x + 10 \)

2. Подставляем это выражение в первое уравнение:

\( 4x^2 — 3(x + 10) = -8, \quad 4x^2 — 3x — 30 = -8, \quad 4x^2 — 3x — 22 = 0 \)

3. Рассчитываем дискриминант:

\( D = (-3)^2 + 4 \cdot 4 \cdot 22 = 9 + 352 = 361 \)

4. Корни для \( x \):

\( x_1 = \frac{3 — 19}{8} = -2, \quad x_2 = \frac{3 + 19}{8} = \frac{11}{4} \)

5. Подставляем \( x_1 = -2 \) в уравнение \( xy = x + 10 \):

\( -2y_1 = -2 + 10 = 8, \quad y_1 = -4 \)

6. Подставляем \( x_2 = \frac{11}{4} \) в уравнение \( xy = x + 10 \):

\( \frac{11}{4}y_2 = \frac{11}{4} + 10 = \frac{51}{4}, \quad y_2 = \frac{51}{11} \)

Ответ: \( (-2; -4); \left( 2 \frac{3}{4}; 4 \frac{7}{11}\right).\)