ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 578 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите множество решений системы неравенств

\[
\begin{cases}
(x — 5)^2 + y^2 \leq 25, \\
(x + 5)^2 + y^2 \leq 25.
\end{cases}
\]

Решить систему неравенств:
\[
\begin{cases}
(x — 5)^2 + y^2 \leq 25, \\
(x + 5)^2 + y^2 \leq 25.
\end{cases}
\]

1) Разность неравенств:
\[
(x — 5)^2 — (x + 5)^2 \leq 0;
\]

\[
-10x — 10x \leq 0;
\]

\[
20x \geq 0, \, x \geq 0.
\]

2) Второе неравенство:
\[
(x + 5)^2 \geq 25, \, x = 0;
\]

\[
y^2 = 0, \, y = 0.
\]

Ответ: \((0; 0)\).

Система неравенств:

\[
\begin{cases}
(x — 5)^2 + y^2 \leq 25, \\
(x + 5)^2 + y^2 \leq 25.
\end{cases}
\]

1) Разность неравенств:
Мы вычитаем второе неравенство из первого:

\[
((x — 5)^2 + y^2) — ((x + 5)^2 + y^2) \leq 0
\]

Сначала заметим, что \(y^2\) в обоих слагаемых одинаково, поэтому мы можем их исключить:

\[
(x — 5)^2 — (x + 5)^2 \leq 0
\]

Теперь раскрываем скобки:

\[
(x — 5)^2 = x^2 — 10x + 25 \quad \text{и} \quad (x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25.
\]

Подставляем эти выражения в неравенство:

\[
(x^2 — 10x + 25) — (x^2 + 10x + 25) \leq 0
\]

Сокращаем \(x^2\) и \(25\) (они одинаковы в обоих слагаемых):

\[
-10x — 10x \leq 0
\]

Упрощаем:

\[
-20x \leq 0
\]

Разделим обе части на \(-20\), не забывая о смене знака неравенства:

\[
x \geq 0
\]

2) Второе неравенство:
Теперь рассмотрим второе неравенство:

\[
(x + 5)^2 + y^2 \leq 25
\]

Это уравнение описывает окружность радиусом 5, с центром в точке \( (-5, 0) \). Чтобы найти конкретные решения, подставим значение \(x = 0\), так как по предыдущему шагу мы нашли, что \(x \geq 0\).

Подставляем \(x = 0\) в неравенство:

\[
(0 + 5)^2 + y^2 \leq 25
\]

\[
25 + y^2 \leq 25
\]

Вычитаем 25 с обеих сторон:

\[
y^2 \leq 0
\]

Решение этого неравенства — \(y = 0\), так как квадрат числа не может быть отрицательным. Таким образом, при \(x = 0\) мы получаем \(y = 0\).

Ответ:
Единственное решение системы: \((0; 0)\).