ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 570 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что четырёхугольник, заданный системой неравенств {0?x-y?4, -4?x+y?4}, является прямоугольником.

Дан четырёхугольник:
\[
\begin{cases}
0 \leq x — y \leq 4, \\
-4 \leq x + y \leq 4.
\end{cases}
\]

1) Первое неравенство:
\[
-x \leq -y \leq 4 — x; \quad x \leq y \leq x — 4; \quad a \in x, \, c \in x — 4;
\]

2) Второе неравенство:
\[
-x — 4 \leq y \leq 4 — x; \quad b \in -x — 4, \, d \in 4 — x;
\]

3) Дан прямоугольник
\[
a \parallel c, \, b \parallel d, \, a = c, \, b = d; \quad k_a = 1, \, k_b = -1, \, a \perp b;
\]

Что и требовалось доказать.

Дан четырёхугольник:

\[
\begin{cases}
0 \leq x — y \leq 4, \\
-4 \leq x + y \leq 4.
\end{cases}
\]

1) Первое неравенство:

Из первого неравенства:

\[
0 \leq x — y \leq 4 \quad \Rightarrow \quad -x \leq -y \leq 4 — x \quad \Rightarrow \quad x \leq y \leq x — 4.
\]

Здесь мы нашли, что \( y \) находится между \( x \) и \( x — 4 \), где \( a \in x \) и \( c \in x — 4 \).

2) Второе неравенство:

Из второго неравенства:

\[
-4 \leq x + y \leq 4 \quad \Rightarrow \quad -x — 4 \leq y \leq 4 -\]

\[x \quad \Rightarrow \quad b \in -x — 4, \quad d \in 4 — x.
\]

Таким образом, \( y \) находится между \( -x — 4 \) и \( 4 — x \), где \( b \in -x — 4 \) и \( d \in 4 — x \).

3) Дан прямоугольник:

Теперь, исходя из данных неравенств, мы можем сделать вывод, что полученная фигура — это прямоугольник. В частности, у нас есть:

\( a \parallel c \), что означает, что стороны \( a \) и \( c \) параллельны.

\( b \parallel d \), что означает, что стороны \( b \) и \( d \) параллельны.

\( a = c \) и \( b = d \), что означает, что противоположные стороны равны.

\( k_a = 1 \), \( k_b = -1 \), что означает, что углы между \( a \) и \( b \) прямые, то есть \( a \perp b \).

Таким образом, это прямоугольник.

Ответ: Что и требовалось доказать.