ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 555 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Какое множество точек задаётся неравенством:

а) (x+1)^2+(y-3)^2?10; в) x^2+y^2-4x-8y?0;

б) x^2-6x+y^2+2y+13 > 0; г) x^2+2x+y^2+10y+22?0?

Какую фигуру описывает:

a) \((x + 1)^2 + (y — 3)^2 \leq 10\)

Ответ: круг.

b) \(x^2 — 6x + y^2 + 2y + 13 > 0\)

\[x^2 — 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 > -3\]

\((x — 3)^2 + (y + 1)^2 > -3\)

Ответ: плоскость.

в) \(x^2 + y^2 — 4x — 8y \geq 0\)

\[x^2 — 4x + 4 + y^2 — 8y + 16 \geq 20\]

\((x — 2)^2 + (y — 4)^2 \geq 20\)

Ответ плоскость вне круга.

г) \(x^2 + 2x + y^2 + 10y + 22 \geq 0\)

\[x^2 + 2x + 1 + y^2 + 10y + 25 \geq 4\]

\((x + 1)^2 + (y + 5)^2 \geq 4\)

Ответ: плоскость вне круга.

a) Рассмотрим неравенство:

\[
(x + 1)^2 + (y — 3)^2 \leq 10
\]

Это неравенство описывает круг, так как оно имеет вид уравнения окружности.

Шаг 1: Раскроем скобки, чтобы убедиться, что уравнение действительно соответствует окружности:

\[
(x + 1)^2 + (y — 3)^2 = 10
\]

Это уравнение окружности с центром в точке \( (-1, 3) \) и радиусом \( \sqrt{10} \). Неравенство \( \leq 10 \) означает, что все точки, находящиеся внутри или на окружности, удовлетворяют этому условию.

Ответ: круг.

b) Рассмотрим неравенство:

\[
x^2 — 6x + y^2 + 2y + 13 > 0
\]

Шаг 1: Преобразуем квадраты в полные квадраты, чтобы упростить выражения:

\[
x^2 — 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 > -3
\]

Мы добавили и вычли 9 для \(x\) и 1 для \(y\), чтобы привести выражения к полным квадратам. Теперь у нас:

\[
(x — 3)^2 + (y + 1)^2 > -3
\]

Шаг 2: Заметим, что сумма квадратов всегда неотрицательна, то есть \( (x — 3)^2 + (y + 1)^2 \geq 0 \). Следовательно, выражение всегда больше или равно 0. Поскольку правая часть неравенства \( -3 \) отрицательна, то неравенство всегда выполняется для всех значений \( x \) и \( y \).

Ответ: плоскость, так как неравенство выполняется для всех точек на плоскости.

в) Рассмотрим неравенство:

\[
x^2 + y^2 — 4x — 8y \geq 0
\]

Шаг 1: Преобразуем уравнение к полным квадратам:

\[
x^2 — 4x + 4 + y^2 — 8y + 16 \geq 20
\]

Для этого добавили и вычли 4 для \(x\) и 16 для \(y\), чтобы получить полные квадраты. Теперь у нас:

\[
(x — 2)^2 + (y — 4)^2 \geq 20
\]

Шаг 2: Это неравенство описывает область, находящуюся за пределами окружности с центром в точке \( (2, 4) \) и радиусом \( \sqrt{20} \). Поскольку неравенство \( \geq 20 \), область решения будет находиться снаружи окружности.

Ответ: плоскость вне круга, так как решение лежит вне окружности с радиусом \( \sqrt{20} \).

г) Рассмотрим неравенство:

\[
x^2 + 2x + y^2 + 10y + 22 \geq 0
\]

Шаг 1: Преобразуем уравнение к полным квадратам:

\[
x^2 + 2x + 1 + y^2 + 10y + 25 \geq 4
\]

Мы добавили и вычли 1 для \(x\) и 25 для \(y\), чтобы получить полные квадраты. Теперь у нас:

\[
(x + 1)^2 + (y + 5)^2 \geq 4
\]

Шаг 2: Это неравенство описывает область, находящуюся за пределами окружности с центром в точке \( (-1, -5) \) и радиусом 2. Поскольку неравенство \( \geq 4 \), область решения будет находиться снаружи окружности.

Ответ: плоскость вне круга, так как решение лежит вне окружности с радиусом 2.