ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 535 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сумма квадратов чисел единиц в крайних разрядах трёхзначного числа равна 25. Разность квадратов чисел единиц в среднем и последнем разрядах равна квадрату числа единиц первого разряда. Если из искомого числа вычесть 99, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите трёхзначное число.

Пусть \(x\), \(y\) и \(z\) — цифры числа, тогда:

\(100x + 10y + z — 99 = 100z + 10y + x;\)

\(x^2 + z^2 = 25, y^2 — z^2 = x^2;\)

1) Первое уравнение:
\(99x — 99z = 99;\)

\(x — z = 1, x = z + 1;\)

2) Второе уравнение:

\((z + 1)^2 + z^2 = 25;\)

\(z^2 + 2z + 1 + z^2 = 25;\)

\(2z^2 + 2z — 24 = 0;\)

\(z^2 + z — 12 = 0;\)

\(D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49, \text{тогда:}\)

\(z_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \text{ и } z_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3;\)

\(x_1 \in 0 \text{ и } x_2 = 3 + 1 = 4;\)

3) Третье уравнение:
\(y^2 — 9 = 16;\)

\(y^2 = 25, y = 5;\)

Ответ: 453.

Заданы переменные: \( x \), \( y \), \( z \) — цифры числа.

1) Первое уравнение:

Дано уравнение:
\[
100x + 10y + z — 99 = 100z + 10y + x.
\]

Упростим:
\[
100x — 99z = 99.
\]

Разделим обе стороны на 99:
\[
x — z = 1, \quad x = z + 1.
\]

2) Второе уравнение:

Дано уравнение:
\[
x^2 + z^2 = 25, \quad y^2 — z^2 = x^2.
\]

Подставим \( x = z + 1 \) в первое уравнение:
\[
(z + 1)^2 + z^2 = 25.
\]

Раскроем скобки:
\[
z^2 + 2z + 1 + z^2 = 25.
\]

Упростим:
\[
2z^2 + 2z — 24 = 0.
\]

Разделим на 2:
\[
z^2 + z — 12 = 0.
\]

Решим это квадратное уравнение:
\[
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49.
\]

Таким образом:
\[
z_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \quad \text{и} \quad z_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3.
\]

Поскольку \( z \) — цифра, то \( z = 3 \). Подставим это значение в \( x = z + 1 \):
\[
x = 3 + 1 = 4.
\]

3) Третье уравнение:

Дано уравнение:
\[
y^2 — 9 = 16.
\]

Решим его:
\[
y^2 = 25, \quad y = 5.
\]

Ответ: Число, которое мы ищем, равно \( 453 \).