ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 523 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Один каменщик может выложить стену на 6 ч быстрее, чем другой. При совместной работе они за 2 ч выложат половину стены. За сколько часов каждый из них может выложить стену?

Зададим переменные:
\(x \text{ ч} — \text{требуется первому;}\)

\(y \text{ ч} — \text{требуется второму;}\)

1) Первое уравнение:

\(y — x = 6, y = x + 6;\)

2) Второе уравнение:

\(\frac{2}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{2};\)

\(4y + 4x = xy;\)

\(4(x + 6) + 4x = x(x + 6);\)

\(4x + 24 + 4x = x^2 + 6x;\)

\(x^2 — 2x — 24 = 0;\)

\(D = 2^2 + 4 \cdot 24 = 4 + 96 = 100, \text{тогда:}\)

\(x_1 = \frac{2 — 10}{2} = -4 \text{ и } x_2 = \frac{2 + 10}{2} = 6;\)

\(y_1 = -4 + 6 = 2 \text{ и } y_2 = 6 + 6 = 12;\)

Ответ: 6 ч и 12 ч.

Заданы переменные:

\( x \) ч — время, требующееся первому, \( y \) ч — время, требующееся второму.

1) Первое уравнение:

Дано уравнение:
\[
y — x = 6, \quad y = x + 6.
\]

2) Второе уравнение:

Дано уравнение:
\[
\frac{2}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{2}.
\]

Умножим обе стороны на 2:
\[
\frac{4}{x} + \frac{4}{y} = 1.
\]

Умножим обе стороны на \( xy \) для избавления от дробей:
\[
4y + 4x = xy.
\]

Подставим \( y = x + 6 \) в это уравнение:
\[
4(x + 6) + 4x = x(x + 6).
\]

Раскроем скобки:
\[
4x + 24 + 4x = x^2 + 6x.
\]

Упростим:
\[
8x + 24 = x^2 + 6x.
\]

Переносим все члены на одну сторону:
\[
x^2 — 2x — 24 = 0.
\]

3) Решение квадратного уравнения:

Для уравнения \( x^2 — 2x — 24 = 0 \) вычислим дискриминант:
\[
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100.
\]

Найдем корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{2 — 10}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{2 + 10}{2} = 6.
\]

Поскольку время не может быть отрицательным, выбираем \( x = 6 \).

4) Находим \( y \):

Подставляем \( x = 6 \) в выражение для \( y \):
\[
y = 6 + 6 = 12.
\]

Ответ: Требуется 6 часов для первого и 12 часов для второго.