ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 516 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, а площадь равна 24 см^2. Найдите стороны треугольника.

Пусть катеты равны \(x\) и \(y\) см:

\(c = 24 — x — y, S = \frac{1}{2}xy = 24;\)

1) Второе уравнение:

\(xy = 48, y = \frac{48}{x};\)

2) Первое уравнение:

\(c = \sqrt{x^2 + y^2}, c = 24 — x — \frac{48}{x};\)

\(x^2 + \frac{2304}{x^2} = x^2 + \frac{2304}{x^2} — 48x — \frac{2304}{x} + 672;\)

\(48x — 672 + \frac{2304}{x} = 0;\)

\(x — 14x + 48 = 0;\)

\(D = 14^2 — 4 \cdot 48 = 196 — 192 = 4, \text{тогда:}\)

\(x_1 = \frac{14 — 2}{2} = 6 \text{ и } x_2 = \frac{14 + 2}{2} = 8;\)

\(y_1 = \frac{48}{6} = 8 \text{ и } y_2 = \frac{48}{8} = 6;\)

\(c = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10;\)

Ответ: 6 см, 8 см и 10 см.

Заданы переменные:

\( x \) и \( y \) — катеты прямоугольного треугольника, \( c \) — гипотенуза, \( S \) — площадь треугольника.

1) Второе уравнение:

Дано уравнение:
\[
\frac{1}{2}xy = 24, \quad xy = 48, \quad y = \frac{48}{x}.
\]

2) Первое уравнение:

Подставим \( y = \frac{48}{x} \) в уравнение для гипотенузы:
\[
c = \sqrt{x^2 + y^2}.
\]

Получаем:
\[
c = 24 — x — \frac{48}{x}.
\]

Таким образом, у нас есть два выражения для \( c \):
\[
\sqrt{x^2 + \left( \frac{48}{x} \right)^2} = 24 — x — \frac{48}{x}.
\]

Упростим:
\[
x^2 + \frac{2304}{x^2} = 24 — x — \frac{48}{x}.
\]

Умножим обе стороны на \( x^2 \) для избавления от дробей:
\[
x^4 + 2304 = x^2(24 — x — \frac{48}{x}).
\]

Упростим, и получим:
\[
48x — 672 + \frac{2304}{x} = 0.
\]

3) Решение квадратного уравнения:

Мы получаем уравнение вида:
\[
x — 14x + 48 = 0.
\]

Решаем его:
\[
x_1 = \frac{14 — 2}{2} = 6, \quad x_2 = \frac{14 + 2}{2} = 8.
\]

4) Найдем \( y \):

Подставляем \( x_1 = 6 \) в выражение для \( y \):
\[
y_1 = \frac{48}{6} = 8, \quad \text{и} \quad x_2 = 8 \quad \Rightarrow y_2 = \frac{48}{8} = 6.
\]

5) Находим \( c \):

Подставим \( x = 6 \) и \( y = 8 \) в уравнение для гипотенузы:
\[
c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10.
\]

Ответ: \( x = 6 \) см, \( y = 8 \) см, \( c = 10 \) см.