ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 515 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

На двух смежных сторонах прямоугольника построены квадраты. Площадь одного из них на 24 см^2 больше площади другого. Найдите длину и ширину прямоугольника, если его площадь равна 35 см^2.

Пусть стороны равны \(x\) и \(y\):

\(y^2 = 24 + x^2, S = xy = 35;\)

1) Второе уравнение:

\(xy = 35, y = \frac{35}{x};\)

2) Первое уравнение:

\(\left(\frac{35}{x}\right)^2 = 24 + x^2;\)

\(1225 = 24x^2 + x^4;\)

\(x^4 + 24x^2 — 1225 = 0;\)

\(D = 24^2 + 4 \cdot 1225 = 576 + 4900 = 5476, \text{тогда:}\)

\(x_1 = \frac{-24 — \sqrt{5476}}{2} = -49 \text{ и } x_2 = \frac{-24 + \sqrt{5476}}{2} = 25;\)

\(x_1 \in \mathbb{R} \text{ и } x_2 = \sqrt{25} = 5;\)

\(y_1 \in \mathbb{R} \text{ и } y_2 = \frac{35}{5} = 7;\)

Ответ: 7 см и 5 см.

Заданы переменные:

\( x \) и \( y \) — стороны прямоугольника.

1) Второе уравнение:

Дано уравнение:
\[
xy = 35, \quad y = \frac{35}{x}.
\]

2) Первое уравнение:

Подставим \( y = \frac{35}{x} \) в первое уравнение:
\[
\left(\frac{35}{x}\right)^2 = 24 + x^2.
\]

Упростим:
\[
\frac{1225}{x^2} = 24 + x^2.
\]

Умножим обе стороны на \( x^2 \):
\[
1225 = 24x^2 + x^4.
\]

Переносим все члены на одну сторону:
\[
x^4 + 24x^2 — 1225 = 0.
\]

3) Решение квадратного уравнения:

Это уравнение можно решить, подставив \( z = x^2 \), получим:
\[
z^2 + 24z — 1225 = 0.
\]

Найдем дискриминант:
\[
D = 24^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1225) = 576 + 4900 = 5476.
\]

Теперь найдем корни уравнения:
\[
z_1 = \frac{-24 — \sqrt{5476}}{2} = -49, \quad z_2 = \frac{-24 + \sqrt{5476}}{2} = 25.
\]

Поскольку \( z = x^2 \), то \( x^2 = 25 \), следовательно \( x = 5 \).

4) Находим \( y \):

Подставим \( x = 5 \) в выражение для \( y \):
\[
y = \frac{35}{5} = 7.
\]

Ответ: \( x = 5 \) см и \( y = 7 \) см.