ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 514 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

(Задача Диофанта, III в.) Найдите два числа, если их отношение равно 3, а отношение суммы квадратов этих чисел к их сумме равно 5.

Пусть даны числа $x$ и $y$:

$$\frac{y}{x} = 3, \quad \frac{x^2 + y^2}{x + y} = 5;$$

Первое уравнение:

$$\frac{y}{x} = 3, \quad y = 3x;$$

Второе уравнение:

$$\frac{x^2+(3x{)}^2}{x+3x}=5;$$

$$\frac{x^2 + (3x)^2}{x + 3x} = 5;$$ $$x^2+9x^2=5\cdot 4x;$$

$$x^2 + 9x^2 = 5 \cdot 4x;$$ $$10x^2=20x;$$

$$10x^2 = 20x;$$ $$10x(x-2)=0;$$

$$10x(x — 2) = 0;$$ $$x_1=0,x_2=2;$$

$$x_1 = 0, \quad x_2 = 2;$$ $$y_1 = 0, \quad y_2 = 6;$$

Ответ: 6 и 2.

Найдите два числа, если:

Их отношение равно 3.

Отношение суммы их квадратов к их сумме равно 5.

Это диофантова задача, т.е. задача о нахождении целых (или рациональных) чисел, удовлетворяющих заданным условиям.

Шаг 1. Введение переменных

Пусть:

$x$ — первое число,

$y$ — второе число.

(Пока неважно, какое из них больше.)

Шаг 2. Первое уравнение — отношение чисел

По условию:

$$\frac{y}{x} = 3 \quad \text{(отношение равно 3)}$$

Отсюда:

$$y = 3x \tag{1}$$

Шаг 3. Второе уравнение — отношение суммы квадратов к сумме

По условию:

$$\frac{x^2 + y^2}{x + y} = 5 \tag{2}$$

Шаг 4. Подставим выражение для $y$ из (1) в уравнение (2)

Подставим $y = 3x$ в уравнение (2):

В числителе:

$$x^2 + y^2 = x^2 + (3x)^2 = x^2 + 9x^2 = 10x^2$$

В знаменателе:

$$x + y = x + 3x = 4x$$

Подставляем в уравнение (2):

$$\frac{10x^2}{4x} = 5$$

Шаг 5. Упростим дробь

$$\frac{10x^2}{4x} = \frac{10x}{4} = \frac{5x}{2}$$

Но у нас:

$$\frac{10x^2}{4x} = 5 \Rightarrow \frac{5x}{2} = 5$$

Шаг 6. Решим уравнение

$$\frac{5x}{2} = 5$$

Умножим обе части на 2:

$$5x = 10 \Rightarrow x = 2$$

Теперь найдём $y$ по формуле $y = 3x$:

$$y = 3 \cdot 2 = 6$$

Шаг 7. Ответ

Найденные числа:

$$x = 2, \quad y = 6$$

Шаг 8. Проверка

Отношение $y : x$:

$$\frac{6}{2} = 3 \Rightarrow \text{выполняется}$$

Отношение суммы квадратов к сумме:

$$\frac{2^2 + 6^2}{2 + 6} = \frac{4 + 36}{8} = \frac{40}{8} = 5 \Rightarrow \text{выполняется}$$

Ответ: 2 и 6