ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 514 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

(Задача Диофанта, III в.) Найдите два числа, если их отношение равно 3, а отношение суммы квадратов этих чисел к их сумме равно 5.

Пусть даны числа \(x\) и \(y\):

\(\frac{y}{x} = 3, \frac{x^2 + y^2}{x + y} = 5;\)

1) Первое уравнение:

\(\frac{y}{x} = 3, y = 3x;\)

2) Второе уравнение:

\(\frac{x^2 + (3x)^2}{x + 3x} = 5;\)

\(x^2 + 9x^2 = 5 \cdot 4x;\)

\(10x^2 = 20x;\)

\(10x(x — 2) = 0;\)

\(x_1 = 0, x_2 = 2;\)

\(y_1 = 0, y_2 = 6;\)

Ответ: 0 и 2.

Заданы переменные:

\( x \) и \( y \) — данные числа.

1) Первое уравнение:

Дано уравнение:

\[
\frac{y}{x} = 3, \quad y = 3x.
\]

2) Второе уравнение:

Подставим \( y = 3x \) во второе уравнение:

\[
\frac{x^2 + (3x)^2}{x + 3x} = 5.
\]

Упростим:
\[
\frac{x^2 + 9x^2}{4x} = 5.
\]

Упрощаем числитель:
\[
\frac{10x^2}{4x} = 5.
\]

Упростим дробь:
\[
\frac{5x}{2} = 5.
\]

Умножим обе стороны на 2:
\[
5x = 10, \quad x = 2.
\]

3) Найдем \( y \):

Подставим \( x = 2 \) в выражение для \( y \):
\[
y = 3 \cdot 2 = 6.
\]

Также, если \( x = 0 \), то \( y = 3 \cdot 0 = 0 \).

Ответ: Возможные значения для \( x \) и \( y \): \( (x = 0, y = 0) \) и \( (x = 2, y = 6) \).