ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 512 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Артель выполнила работу за 20 дней. Если бы в артели было на 4 человека больше и рабочий день увеличился бы на 1 ч, то работа была бы выполнена за 10 дней. Если бы в артели было на 1 человека меньше, а рабочий день сократился на 1 ч, то для выполнения работы потребовалось бы 30 дней. Сколько человек было в артели и какой продолжительности был у них рабочий день?

Зададим переменные:

\(x\) чел — работают в артели;

\(y\) ч — длится рабочий день;

1) Первое уравнение:

\(20xy = 10(x + 4)(y + 1);\)

\(20xy = 10xy + 10x + 40y + 40;\)

\(10xy = 10x + 40y + 40;\)

\(xy = x + 4y + 4;\)

2) Второе уравнение:

\(20xy = 30(x — 1)(y — 1);\)

\(20xy = 30xy — 30x — 30y + 30;\)

\(10xy = 30x + 30y — 30;\)

\(x + 4y + 4 = 3x + 3y — 3;\)

\(y = 2x — 7;\)

3) Первое уравнение:

\(x(2x — 7) = x + 4(2x — 7) + 4;\)

\(2x^2 — 7x = x + 8x — 28 + 4;\)

\(2x^2 — 16x + 24 = 0;\)

\(x^2 — 8x + 12 = 0;\)

\(D = 8^2 — 4 \cdot 12 = 64 — 48 = 16, \text{тогда:}\)

\(x_1 = \frac{8 — 4}{2} = 2 \text{ и } x_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6;\)

\(y_1 = 4 — 7 = -3 \text{ и } y_2 = 12 — 7 = 5;\)

Ответ: 6 чел и 5 ч.

Заданы переменные:

\( x \) чел — количество людей, работающих в артели, \( y \) ч — длительность рабочего дня.

1) Первое уравнение:

Дано уравнение:
\[
20xy = 10(x + 4)(y + 1).
\]

Раскроем скобки:
\[
20xy = 10xy + 10x + 40y + 40.
\]

Переносим все члены с \( xy \) на одну сторону:
\[
10xy = 10x + 40y + 40.
\]

Разделим на 10:
\[
xy = x + 4y + 4.
\]

2) Второе уравнение:

Дано уравнение:
\[
20xy = 30(x — 1)(y — 1).
\]

Раскроем скобки:
\[
20xy = 30xy — 30x — 30y + 30.
\]

Переносим все члены с \( xy \) на одну сторону:
\[
10xy = 30x + 30y — 30.
\]

Разделим на 10:
\[
xy = 3x + 3y — 3.
\]

Подставим выражение для \( xy \) из первого уравнения:
\[
x + 4y + 4 = 3x + 3y — 3.
\]

Упростим:
\[
x + 4y + 4 — 3x — 3y = -3,
\]

\[
-2x + y = -7.
\]

Из этого получаем:
\[
y = 2x — 7.
\]

3) Подставим \( y = 2x — 7 \) в первое уравнение:

Подставим выражение для \( y \) в \( xy = x + 4y + 4 \):
\[
x(2x — 7) = x + 4(2x — 7) + 4.
\]

Раскроем скобки:
\[
2x^2 — 7x = x + 8x — 28 + 4.
\]

Упростим:
\[
2x^2 — 7x = 9x — 24.
\]

Переносим все члены на одну сторону:
\[
2x^2 — 16x + 24 = 0.
\]

Разделим на 2:
\[
x^2 — 8x + 12 = 0.
\]

4) Решение квадратного уравнения:

Вычислим дискриминант:
\[
D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 — 48 = 16.
\]

Найдем корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{8 — 4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6.
\]

Подставим найденные значения для \( x \) в \( y = 2x — 7 \):
\[
y_1 = 2 \cdot 2 — 7 = -3, \quad y_2 = 2 \cdot 6 — 7 = 5.
\]

Ответ: \( x = 6 \) чел и \( y = 5 \) ч.