ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 505 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Диагональ прямоугольника равна 10 см. Если меньшую сторону прямоугольника увеличить на 2 см, а большую уменьшить на 2 см, то диагональ не изменится. Найдите стороны прямоугольника.

Зададим переменные:

\(x\) см — меньшая сторона;

\(y\) см — большая сторона;

1) Второе уравнение:

\(\sqrt{(x+2)^2 + (y-2)^2} = 10;\)

\(x^2 + 4x + 4 + y^2 — 4y + 4 = 100;\)

\(x^2 + y^2 + 4x — 4y = 92;\)

\(100 + 4(x — y) = 92;\)

\(4(x — y) = -8;\)

\(x — y = -2;\)

\(y = x + 2;\)

2) Первое уравнение:

\(\sqrt{x^2 + y^2} = 10;\)

\(x^2 + (x + 2)^2 = 100;\)

\(x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100;\)

\(2x^2 + 4x — 96 = 0;\)

\(x^2 + 2x — 48 = 0;\)

\(D = 2^2 + 4 \cdot 48 = 4 + 192 = 196,\) тогда:

\(x_1 = \frac{-2 — 14}{2} = -8\) и \(x_2 = \frac{-2 + 14}{2} = 6;\)

\(y_1 = -8 + 2 = -6\) и \(y_2 = 6 + 2 = 8;\)

Ответ: 6 см и 8 см.

Заданы переменные:

\( x \) см — меньшая сторона, \( y \) см — большая сторона.

1) Второе уравнение:

Дано уравнение:
\[
\sqrt{(x + 2)^2 + (y — 2)^2} = 10.
\]

Возведем обе стороны в квадрат:
\[
(x + 2)^2 + (y — 2)^2 = 100.
\]

Раскроем скобки:
\[
x^2 + 4x + 4 + y^2 — 4y + 4 = 100.
\]

Упростим:
\[
x^2 + y^2 + 4x — 4y + 8 = 100.
\]

Переносим 100 на левую сторону:
\[
x^2 + y^2 + 4x — 4y = 92.
\]

Разделим на 4:
\[
100 + 4(x — y) = 92.
\]

Упростим:
\[
4(x — y) = -8.
\]

Разделим обе стороны на 4:
\[
x — y = -2, \quad y = x + 2.
\]

2) Первое уравнение:

Дано уравнение:
\[
\sqrt{x^2 + y^2} = 10.
\]

Возведем обе стороны в квадрат:
\[
x^2 + y^2 = 100.
\]

Подставим \( y = x + 2 \) в это уравнение:
\[
x^2 + (x + 2)^2 = 100.
\]

Раскроем скобки:
\[
x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100.
\]

Упростим:
\[
2x^2 + 4x + 4 = 100.
\]

Переносим 100 на левую сторону:
\[
2x^2 + 4x — 96 = 0.
\]

Разделим на 2:
\[
x^2 + 2x — 48 = 0.
\]

Вычислим дискриминант:
\[
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196.
\]

Найдем корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{-2 — 14}{2} = -8, \quad x_2 = \frac{-2 + 14}{2} = 6.
\]

Подставим найденные значения для \( x \) в \( y = x + 2 \):
\[
y_1 = -8 + 2 = -6, \quad y_2 = 6 + 2 = 8.
\]

Ответ:

Возможные пары значений для \( (x, y) \):

\( x = -8, y = -6 \),

\( x = 6, y = 8 \).