ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 505 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Диагональ прямоугольника равна 10 см. Если меньшую сторону прямоугольника увеличить на 2 см, а большую уменьшить на 2 см, то диагональ не изменится. Найдите стороны прямоугольника.

Зададим переменные:

\(x\) см — меньшая сторона;

\(y\) см — большая сторона;

1) Второе уравнение:

\(\sqrt{(x+2)^2 + (y-2)^2} = 10;\)

\(x^2 + 4x + 4 + y^2 — 4y + 4 = 100;\)

\(x^2 + y^2 + 4x — 4y = 92;\)

\(100 + 4(x — y) = 92;\)

\(4(x — y) = -8;\)

\(x — y = -2;\)

\(y = x + 2;\)

2) Первое уравнение:

\(\sqrt{x^2 + y^2} = 10;\)

\(x^2 + (x + 2)^2 = 100;\)

\(x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100;\)

\(2x^2 + 4x — 96 = 0;\)

\(x^2 + 2x — 48 = 0;\)

\(D = 2^2 + 4 \cdot 48 = 4 + 192 = 196,\) тогда:

\(x_1 = \frac{-2 — 14}{2} = -8\) и \(x_2 = \frac{-2 + 14}{2} = 6;\)

\(y_1 = -8 + 2 = -6\) и \(y_2 = 6 + 2 = 8;\)

Ответ: 6 см и 8 см.

Дано:

• Диагональ прямоугольника равна 10 см.
• Если меньшую сторону увеличить на 2 см, а большую уменьшить на 2 см, то диагональ остаётся равной 10 см.
• Требуется найти стороны прямоугольника.

Шаг 1. Обозначим переменные

Пусть

• $x$ — меньшая сторона прямоугольника (в см),
• $y$ — большая сторона прямоугольника (в см),
  причём $x < y$.

Шаг 2. Применим теорему Пифагора к исходному прямоугольнику

По теореме Пифагора:

$$x^2 + y^2 = 10^2 = 100 \tag{1}$$

Шаг 3. Применим теорему Пифагора ко второму прямоугольнику

После изменения:

• меньшая сторона становится $x + 2$,
• большая сторона становится $y — 2$.

Диагональ остаётся прежней:

$$(x + 2)^2 + (y — 2)^2 = 10^2 = 100 \tag{2}$$

Шаг 4. Раскроем скобки в уравнении (2)

$$(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$$ $$(y — 2)^2 = y^2 — 4y + 4$$

Подставим:

$$x^2 + 4x + 4 + y^2 — 4y + 4 = 100$$

Сгруппируем:

$$x^2 + y^2 + 4x — 4y + 8 = 100 \tag{3}$$

Шаг 5. Используем уравнение (1), чтобы упростить (3)

Из уравнения (1):

$$x^2 + y^2 = 100$$

Подставим в уравнение (3):

$$100 + 4x — 4y + 8 = 100$$

Сократим:

$$4x — 4y + 8 = 0$$

Разделим на 4:

$$x — y = -2 \tag{4}$$

Шаг 6. Получим систему уравнений

Имеем:

1. $x^2 + y^2 = 100$
2. $x — y = -2$

Шаг 7. Выразим одну переменную через другую

Из уравнения (4):

$$x = y — 2$$

Шаг 8. Подставим в уравнение (1)

Подставим $x = y — 2$ в уравнение (1):

$$(y — 2)^2 + y^2 = 100$$ $$y^2 — 4y + 4 + y^2 = 100$$ $$2y^2 — 4y + 4 = 100$$ $$2y^2 — 4y — 96 = 0$$

Разделим на 2:

$$y^2 — 2y — 48 = 0 \tag{5}$$

Шаг 9. Найдём корни квадратного уравнения

Решим уравнение:

$$y^2 — 2y — 48 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$$

Корни:

$$y = \frac{2 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{2 \pm 14}{2}$$ $$y_1 = \frac{16}{2} = 8,\quad y_2 = \frac{-12}{2} = -6$$

Отрицательное значение не подходит, значит $y = 8$

Подставим в выражение для $x$:

$$x = y — 2 = 8 — 2 = 6$$

Ответ:

Стороны прямоугольника: 6 см и 8 см.