ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 503 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите два числа, если известно, что сумма квадратов этих чисел равна 202, а разность их квадратов равна 40.

Пусть \(x\) и \(y\) — данные числа:
\(x^2 + y^2 = 202,\) \(x^2 — y^2 = 40;\)

1) Первое уравнение:

\(y^2 = 202 — x^2;\)

\(y = \pm \sqrt{202 — x^2};\)

2) Второе уравнение:
\(x^2 — 202 + x^2 = 40;\)

\(2x^2 = 242,\) \(x^2 = 121;\)

\(x = \pm \sqrt{121} = \pm 11;\)

\(y = \pm \sqrt{81} = \pm 9;\)

Ответ: \(-11\) и \(-9;\) \(-11\) и \(9;\) \(11\) и \(-9;\) \(11\) и \(9.\)

Пусть \(x\) и \(y\) — данные числа:

\(x^2 + y^2 = 202,\) \(x^2 — y^2 = 40.\)

1) Первое уравнение:

Из первого уравнения:

\[
x^2 + y^2 = 202,
\]
выражаем \( y^2 \):

\[
y^2 = 202 — x^2.
\]

Таким образом, \( y = \pm \sqrt{202 — x^2} \).

2) Второе уравнение:

Подставим выражение для \( y^2 \) во второе уравнение:

\[
x^2 — y^2 = 40.
\]

Подставим \( y^2 = 202 — x^2 \):

\[
x^2 — (202 — x^2) = 40,
\]

Раскроем скобки:

\[
x^2 — 202 + x^2 = 40.
\]
Упростим:

\[
2x^2 — 202 = 40.
\]

Переносим 202 на правую сторону:

\[
2x^2 = 242, \quad x^2 = 121.
\]

3) Найдем \( x \):

Из уравнения \( x^2 = 121 \) получаем:

\[
x = \pm \sqrt{121} = \pm 11.
\]

4) Найдем \( y \):

Подставим \( x = \pm 11 \) в выражение для \( y \):

\[
y = \pm \sqrt{202 — 11^2} = \pm \sqrt{202 — 121} = \pm \sqrt{81} = \pm 9.
\]

Ответ: Возможные пары значений для \( (x, y) \) следующие:

\( (-11, -9) \),

\( (-11, 9) \),

\( (11, -9) \),

\( (11, 9) \).