ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 500 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Периметр прямоугольника равен 14 см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух смежных сторонах, равна 25 см^2. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть стороны равны \(x\) и \(y\) см:

\(2x + 2y = 14,\) \(x^2 + y^2 = 25;\)

1) Первое уравнение:

\(x + y = 7,\) \(y = 7 — x;\)

2) Второе уравнение:

\(x^2 + (7 — x)^2 = 25;\)

\(x^2 + 49 — 14x + x^2 = 25;\)

\(2x^2 — 14x + 24 = 0;\)

\(x^2 — 7x + 12 = 0;\)

\(D = 7^2 — 4 \cdot 12 = 49 — 48 = 1,\) тогда:

\(x_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3\) и \(x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4;\)

\(y_1 = 7 — 3 = 4\) и \(y_2 = 7 — 4 = 3;\)

Ответ: 3 см и 4 см.

Пусть стороны равны \( x \) и \( y \) см:

Даны уравнения:

\[
2x + 2y = 14, \quad x^2 + y^2 = 25.
\]

1) Первое уравнение:

Упростим первое уравнение:
\[
2x + 2y = 14 \quad \Rightarrow \quad x + y = 7.
\]

Отсюда:

\[
y = 7 — x.
\]

2) Подставим \( y = 7 — x \) во второе уравнение:

Подставляем выражение для \( y \) в уравнение \( x^2 + y^2 = 25 \):
\[
x^2 + (7 — x)^2 = 25.
\]

Раскроем скобки:
\[
x^2 + (49 — 14x + x^2) = 25;
\]

Упростим:
\[
x^2 + 49 — 14x + x^2 = 25;
\]
\[
2x^2 — 14x + 49 = 25.\]

Переносим 25 на левую сторону:
\[
2x^2 — 14x + 24 = 0.\]

Разделим на 2:

\[
x^2 — 7x + 12 = 0.
\]

3) Решаем квадратное уравнение:

Вычислим дискриминант для уравнения \( x^2 — 7x + 12 = 0 \):
\[
D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 — 48 = 1.
\]

Корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{-(-7) — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 — 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = 4.
\]

4) Находим соответствующие значения для \( y \):

Для \( x_1 = 3 \):
\[
y_1 = 7 — 3 = 4.
\]

Для \( x_2 = 4 \):

\[
y_2 = 7 — 4 = 3.
\]

Ответ: 3 см и 4 см.