ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 499 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Один катет прямоугольного треугольника больше другого на 5 см. Найдите периметр треугольника, если его площадь равна 150 см^2.

Пусть \(x\) см — первый катет; \((x + 5)\) см — второй катет;

1) Площадь треугольника:

\(S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 5) = 150;\)

\(x^2 + 5x = 300;\)

\(x^2 + 5x — 300 = 0;\)

\(D = 5^2 + 4 \cdot 300 = 25 + 1200 = 1225,\) тогда:

\(x_1 = \frac{-5 — 35}{2} = -20\) и \(x_2 = \frac{-5 + 35}{2} = 15;\)

2) Периметр треугольника:

\(P = x + (x + 5) + \sqrt{x^2 + (x + 5)^2};\)

\(P = 15 + 20 + \sqrt{225 + 400};\)

\(P = 35 + \sqrt{625} = 35 + 25 = 60;\)

Ответ: 60 см.

Пусть \( x \) см — первый катет, и \( (x + 5) \) см — второй катет.

1) Площадь треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 5) = 150.
\]

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[
x \cdot (x + 5) = 300.
\]

Раскроем скобки:

\[
x^2 + 5x = 300.
\]

Переносим все члены на одну сторону:

\[
x^2 + 5x — 300 = 0.
\]

Это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225.
\]

Теперь найдем корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{-5 — \sqrt{1225}}{2} = \frac{-5 — 35}{2} = -20, \quad x_2 =\]

\[\frac{-5 + \sqrt{1225}}{2} = \frac{-5 + 35}{2} = 15.
\]

Поскольку \( x \) — это длина катета, то отрицательное значение \( x_1 = -20 \) не имеет физического смысла, следовательно, \( x = 15 \).

2) Периметр треугольника:

Периметр прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
\[
P = x + (x + 5) + \sqrt{x^2 + (x + 5)^2}.
\]

Подставляем \( x = 15 \):

\[
P = 15 + 20 + \sqrt{15^2 + 20^2}.
\]

Вычислим значения:

\[
P = 15 + 20 + \sqrt{225 + 400} = 35 + \sqrt{625} = 35 + 25 = 60.
\]

Ответ: Периметр треугольника равен \( 60 \) см.