ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 478 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите координаты общих точек:

а) прямой 2x-y=-3 и параболы y=(1/2)x^2+4x+5;

б) прямой 2x+y=3 и окружности x^2+y^2=9.

Найти точки пересечения:

a)

\[2x — y = -3, \quad y = \frac{1}{2}x^2 + 4x + 5;\]

\[y = 2x + 3, \quad 2x + 3 = \frac{1}{2}x^2 + 4x + 5;\]

\[\frac{1}{2}x^2 + 2x + 2 = 0;\]

\[x^2 + 4x + 4 = 0;\]

\[(x + 2)^2 = 0;\]

\[x + 2 = 0, \quad x = -2;\]

\[y = -4 + 3 = -1;\]

Ответ: (-2; -1).

б)

\[2x + y = 3, \quad x^2 + y^2 = 9;\]

\[y = 3 — 2x, \quad x^2 + (3 — 2x)^2 = 9;\]

\[x^2 + 9 — 12x + 4x^2 = 9;\]

\[5x^2 — 12x = 0;\]

\[x(5x — 12) = 0;\]

\[
x_1 = 0, \quad x_2 = 2,4;
\]

\[
y_1 = 3, \quad y_2 = 1,8;
\]

Ответ: (0; 3); (2,4; -1,8).

Решение задачи:

а)

Уравнения:

\( 2x — y = -3, \quad y = \frac{1}{2}x^2 + 4x + 5 \)

1) Из первого уравнения выразим \( y \):

\( y = 2x + 3 \)

2) Подставим \( y = 2x + 3 \) во второе уравнение:

\( 2x + 3 = \frac{1}{2}x^2 + 4x + 5 \)

3) Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\( 4x + 6 = x^2 + 8x + 10 \)

4) Переносим все члены в одну сторону:

\( x^2 + 8x + 10 — 4x — 6 = 0 \)

\( x^2 + 4x + 4 = 0 \)

5) Разложим на полный квадрат:

\( (x + 2)^2 = 0 \)

6) Получаем корень:

\( x + 2 = 0, \quad x = -2 \)

7) Находим \( y \) для \( x = -2 \):

\( y = 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1 \)

Ответ: \( (-2; -1) \).

б)

Уравнения:

\( 2x + y = 3, \quad x^2 + y^2 = 9 \)

1) Из первого уравнения выразим \( y \):

\( y = 3 — 2x \)

2) Подставим \( y = 3 — 2x \) во второе уравнение:

\( x^2 + (3 — 2x)^2 = 9 \)

3) Раскроем скобки:

\( x^2 + 9 — 12x + 4x^2 = 9 \)

4) Упростим выражение:

\( 5x^2 — 12x + 9 — 9 = 0 \)

\( 5x^2 — 12x = 0 \)

5) Разложим на множители:

\( x(5x — 12) = 0 \)

6) Решения для \( x \):

\( x_1 = 0, \quad x_2 = 2,4 \)

7) Находим \( y \) для каждого \( x \):

Для \( x_1 = 0 \), тогда \( y_1 = 3 — 2(0) = 3 \).

Для \( x_2 = 2,4 \), тогда \( y_2 = 3 — 2(2,4) = 3 — 4,8 = -1,8 \).

Ответ: \( (0; 3), (2,4; -1,8) \).