ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 477 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В каких точках пересекаются:

а) парабола y=x^2-6x+5 и прямая y=3x-3;

б) окружность x^2+y^2=25 и прямая x-y=-1?

Найти точки пересечения:

а)
\[y = x^2 — 6x + 5, \quad y = 3x — 3;\]

\[x^2 — 6x + 5 = 3x — 3;\]

\[x^2 — 9x + 8 = 0;\]

\[D = 9^2 — 4 \cdot 8 = 81 — 32 = 49,\] тогда:

\[
x_1 = \frac{9 — 7}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{9 + 7}{2} = 8;
\]

\[
y_1 = 3 — 3 = 0 \quad \text{и} \quad y_2 = 24 — 3 = 21;
\]

Ответ: (1; 0); (8; 21).

б)

\[x^2 + y^2 = 25, \quad x — y = -1;\]

\[y = x + 1, \quad x^2 + (x + 1)^2 = 25;\]

\[x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25;\]

\[2x^2 + 2x — 24 = 0;\]

\[x^2 + x — 12 = 0;\]

\[D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49,\] тогда:

\[
x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3;
\]

\[
y_1 = -4 + 1 = -3 \quad \text{и} \quad y_2 = 3 + 1 = 4;
\]

Ответ: (-4; -3); (3; 4).

Решение задачи:

а)

Уравнения:

\( y = x^2 — 6x + 5, \quad y = 3x — 3 \)

1) Приравняем оба выражения для \( y \):

\( x^2 — 6x + 5 = 3x — 3 \)

2) Переносим все члены в одну сторону:

\( x^2 — 9x + 8 = 0 \)

3) Вычислим дискриминант:

\( D = (-9)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 — 32 = 49 \)

4) Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{9 — 7}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{9 + 7}{2} = 8 \)

5) Находим \( y \) для каждого значения \( x \):

Для \( x_1 = 1 \), тогда \( y_1 = 3(1) — 3 = 0 \).

Для \( x_2 = 8 \), тогда \( y_2 = 3(8) — 3 = 21 \).

Ответ: \( (1; 0), (8; 21) \).

б)

Уравнения:

\( x^2 + y^2 = 25, \quad x — y = -1 \)

1) Из второго уравнения выразим \( y \):

\( y = x + 1 \)

2) Подставим \( y = x + 1 \) в первое уравнение:

\( x^2 + (x + 1)^2 = 25 \)

3) Раскроем скобки:

\( x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25 \)

4) Упростим выражение:

\( 2x^2 + 2x — 24 = 0 \)

5) Разделим на 2:

\( x^2 + x — 12 = 0 \)

6) Вычислим дискриминант:

\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \)

7) Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \)

8) Находим \( y \) для каждого значения \( x \):

Для \( x_1 = -4 \), тогда \( y_1 = -4 + 1 = -3 \).

Для \( x_2 = 3 \), тогда \( y_2 = 3 + 1 = 4 \).

Ответ: \( (-4; -3), (3; 4) \).