ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 474 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) (1/2)x^4-4x^2+2=0;

б) (1-4x^2)^2=3(2-8x^2)-9.

Решить уравнение:

a)
\[
\frac{1}{2}x^4 — 4x^2 + 2 = 0;
\]

\[
x^4 — 8x^2 + 4 = 0;
\]

\[
D = 8^2 — 4 \cdot 4 = 64 — 16 = 48, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x^2 = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3};
\]

\[
x^2 = 3 \pm 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3} \pm 1)^2;
\]

\[
x = \pm(\sqrt{3} \pm 1) = \pm\sqrt{3} \pm 1;
\]

Ответ:

\[
-\sqrt{3} \pm 1; \quad \sqrt{3} \pm 1.
\]

b)
\[
(1 — 4x^2)^2 = 3(2 — 8x^2) — 9;
\]

\[
(1 — 4x^2)^2 — 6(1 — 4x^2) + 9 = 0;
\]

Пусть \(y = 1 — 4x^2\), тогда:

\[
y^2 — 6y + 9 = 0;
\]

\[
(y — 3)^2 = 0;
\]

\[
y — 3 = 0, \quad y = 3;
\]

Ответ:
Корней нет.

Решение уравнений:

а)

Уравнение:

\( \frac{1}{2}x^4 — 4x^2 + 2 = 0 \)

1) Умножим оба выражения на 2, чтобы избавиться от дроби:

\( x^4 — 8x^2 + 4 = 0 \)

2) Введем замену \( y = x^2 \), тогда уравнение примет вид:

\( y^2 — 8y + 4 = 0 \)

3) Вычислим дискриминант этого квадратного уравнения:

\( D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 64 — 16 = 48 \)

4) Корни уравнения для \( y \):

\( y = \frac{-(-8) \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3} \)

5) Поскольку \( y = x^2 \), подставим \( y = 4 \pm 2\sqrt{3} \) и получим:

\( x^2 = 4 \pm 2\sqrt{3} \)

6) Извлекаем корни для \( x \):

\( x = \pm(\sqrt{4 \pm 2\sqrt{3}}) \), то есть:

\( x = \pm(\sqrt{3} \pm 1) \)

Ответ: \( -\sqrt{3} \pm 1; \quad \sqrt{3} \pm 1 \).

б)

Уравнение:

\( (1 — 4x^2)^2 = 3(2 — 8x^2) — 9 \)

1) Раскроем скобки на обеих сторонах уравнения:

\( (1 — 4x^2)^2 — 6(1 — 4x^2) + 9 = 0 \)

2) Введем замену \( y = 1 — 4x^2 \), тогда уравнение примет вид:

\( y^2 — 6y + 9 = 0 \)

3) Упростим это уравнение:

\( (y — 3)^2 = 0 \)

4) Корень из этого уравнения:

\( y — 3 = 0, \quad y = 3 \)

5) Подставляем обратно замену \( y = 1 — 4x^2 \):

\( 1 — 4x^2 = 3 \)

\( 4x^2 = -2 \)

6) Мы получаем, что \( x^2 = -\frac{1}{2} \), что невозможно для действительных чисел, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным.

Ответ: Корней нет.