ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 469 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сколько решении имеет система уравнений:

а) {y+12x=2x^2+14, x+2=y}; б) {x(x-2)=y+12x, xy-5=0}?

Найти количество решений:

a)
\[
\begin{cases}
y + 12x = 2x^2 + 14 \\
x + 2 = y
\end{cases}
\]

Первое уравнение:
\[
x + 2 + 12x = 2x^2 + 14;
2x^2 — 13x + 12 = 0;
D = 13^2 — 4 \cdot 2 \cdot 12 = 73;
\]

Ответ: 2 решения.

б)
\[
\begin{cases}
x(x — 2) = y + 12x \\
xy — 5 = 0
\end{cases}
\]

Второе уравнение:
\[
xy = 5, \quad y = \frac{5}{x};
\]

Первое уравнение:
\[
x^2 — 2x = \frac{5}{x} + 12x;
x^3 — 14x^2 — 5 = 0;
\]

Если \(x > 0\), тогда:
\[
f(x) = x^3 — 14x^2 — 5 \text{ возрастает};
g(x) = -x^{-1} \text{ возрастает};
\]

Ответ: 1 решение.

Решение:

а)

Первое уравнение:

\( x + 2 + 12x = 2x^2 + 14 \)

Приводим подобные члены:

\( 13x + 2 = 2x^2 + 14 \)

Переносим все члены в одну сторону:

\( 2x^2 — 13x + 12 = 0 \)

Вычислим дискриминант:

\( D = (-13)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 12 = 169 — 96 = 73 \)

Корни уравнения можно найти по формуле:

\( x_1, x_2 = \frac{-(-13) \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 2} = \frac{13 \pm \sqrt{73}}{4} \)

Таким образом, у уравнения два решения.

Ответ: 2 решения.

б)

Система уравнений:

\( \begin{cases}
x(x — 2) = y + 12x \\
xy — 5 = 0
\end{cases} \)

Из второго уравнения выразим \( y \):

\( xy = 5, \quad y = \frac{5}{x} \)

Подставим \( y = \frac{5}{x} \) в первое уравнение:

\( x(x — 2) = \frac{5}{x} + 12x \)

Умножим все на \( x \), чтобы избавиться от знаменателя:

\( x^2(x — 2) = 5 + 12x^2 \)

Раскроем скобки и упростим:

\( x^3 — 2x^2 = 5 + 12x^2 \)

Переносим все члены в одну сторону:

\( x^3 — 14x^2 — 5 = 0 \)

Теперь проанализируем поведение функции \( f(x) = x^3 — 14x^2 — 5 \) и \( g(x) = -x^{-1} \):

1. Для функции \( f(x) \) можно доказать, что она возрастает при \( x > 0 \), что означает, что она имеет только одно решение в этой области.

2. Функция \( g(x) = -x^{-1} \) тоже возрастает при \( x > 0 \). Это также подтверждает, что у уравнения одно решение при \( x > 0 \).

Ответ: 1 решение.