ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 462 Углубленный Уровеhttps://gdz-makarichev.ru/wp-admin/post-new.php?post_type=pageнь Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите такие решения уравнения x^2-y^2=63, в которых x и y — целые числа.

Найти целые решения:
\[
x^2 — y^2 = 63; \quad (x — y)(x + y) = 63; \quad y \in \mathbb{Z}, \, x \in \mathbb{Z}, \, |x| > |y|;
\]

1) Первая пара значений:
\[
x — y = 1, \quad x + y = 63;
\]

\[
y = x — 1, \quad x + x — 1 = 63;
\]

\[
2x = 64, \quad x = 32, \quad y = 31;
\]

2) Вторая пара значений:
\[
x — y = 3, \quad x + y = 21;
\]

\[
y = x — 3, \quad x + x — 3 = 21;
\]

\[
2x = 24, \quad x = 12, \quad y = 9;
\]

3) Третья пара значений:
\[
x — y = 7, \quad x + y = 9;
\]

\[
y = x — 7, \quad x + x — 7 = 9;
\]

\[
2x = 16, \quad x = 8, \quad y = 1;
\]

Ответ:
\[
(32; -31), \, (-32; 31), \, (32; -31), \, (32; 31);\]
\[(+12; 9), \, (-12; 9), \, (12; -9), \, (12; 9);\]
\[(-8; -1), \, (-8; 1), \, (8; -1), \, (8; 1).
\]

Дано уравнение: \( x^2 — y^2 = 63; \quad (x — y)(x + y) = 63; \quad y \in \mathbb{Z}, \, x \in \mathbb{Z}, \, |x| > |y| \)

Для того, чтобы решить это уравнение, необходимо рассмотреть возможные разложения 63 на произведение двух чисел, так как \( (x — y)(x + y) = 63 \). Рассмотрим все возможные варианты:

• \( 63 = 1 \times 63 \),
• \( 63 = 3 \times 21 \),
• \( 63 = 7 \times 9 \).

Теперь для каждого разложения мы решим систему уравнений \( x — y = \text{одно из чисел} \) и \( x + y = \text{другое число} \), а затем найдем целые значения \( x \) и \( y \), удовлетворяющие этим уравнениям.

1) Первая пара значений:

Предположим, что:

\[
x — y = 1, \quad x + y = 63
\]

1. Сложим оба уравнения:

\[
(x — y) + (x + y) = 1 + 63 \quad \Rightarrow \quad 2x = 64 \quad \Rightarrow \quad x = 32
\]

2. Подставим значение \( x = 32 \) в одно из уравнений:

\[
x — y = 1 \quad \Rightarrow \quad 32 — y = 1 \quad \Rightarrow \quad y = 31
\]

Ответ: \( (32; -31), (-32; 31) \)

2) Вторая пара значений:

Предположим, что:

\[
x — y = 3, \quad x + y = 21
\]

1. Сложим оба уравнения:

\[
(x — y) + (x + y) = 3 + 21 \quad \Rightarrow \quad 2x = 24 \quad \Rightarrow \quad x = 12
\]

2. Подставим значение \( x = 12 \) в одно из уравнений:

\[
x — y = 3 \quad \Rightarrow \quad 12 — y = 3 \quad \Rightarrow \quad y = 9
\]

Ответ: \( (12; 9), (-12; 9) \)

3) Третья пара значений:

Предположим, что:

\[
x — y = 7, \quad x + y = 9
\]

1. Сложим оба уравнения:

\[
(x — y) + (x + y) = 7 + 9 \quad \Rightarrow \quad 2x = 16 \quad \Rightarrow \quad x = 8
\]

2. Подставим значение \( x = 8 \) в одно из уравнений:

\[
x — y = 7 \quad \Rightarrow \quad 8 — y = 7 \quad \Rightarrow \quad y = 1
\]

Ответ: \( (8; -1), (-8; 1) \)

Итоговые решения:

• \( (32; -31), (-32; 31), (32; -31), (32; 31) \)
• \( (12; 9), (-12; 9), (12; -9), (12; 9) \)
• \( (-8; -1), (-8; 1), (8; -1), (8; 1) \)