ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 452 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите такие решения уравнения y^2-x^2=123, в которых значения х и у — натуральные числа.

Натуральные решения:

\[
y^2 — x^2 = 123; \quad (y — x)(y + x) = 123; \quad y \in \mathbb{N}, \, x \in \mathbb{N}, \, y > x;
\]

\[
y — x > 0, \, y + x > 0; \quad y + x > y — x;
\]

1) Первая пара значений:

\[
y — x = 1, \, y + x = 123;
\]

\[
y = x + 1, \, x + 1 + x = 123;
\]

\[
2x = 122, \, x = 61, \, y = 62;
\]

2) Вторая пара значений:
\[
y — x = 3, \, y + x = 41;
\]

\[
y = x + 3, \, x + 3 + x = 41;
\]

\[
2x = 38, \, x = 19, \, y = 22;
\]

Ответ:

(61; 62); (19; 22).

Уравнение: \( y^2 — x^2 = 123 \), где \( y \in \mathbb{N} \), \( x \in \mathbb{N} \), и \( y > x \).

Мы можем разложить левую часть уравнения как разность квадратов:

\[
y^2 — x^2 = (y — x)(y + x)
\]

Таким образом, у нас есть следующее уравнение:

\[
(y — x)(y + x) = 123
\]

Для решения задачи мы должны найти такие натуральные числа \( y \) и \( x \), для которых выполняется это равенство. Нам нужно рассматривать все возможные способы разложения числа 123 на произведение двух чисел, и для каждого из этих разложений решить соответствующее уравнение.

1) Первая пара значений:

Мы предполагаем, что \( y — x = 1 \), тогда:

\[
y + x = 123
\]

Теперь подставим \( y = x + 1 \) в уравнение \( y + x = 123 \):

\[
(x + 1) + x = 123
\]

Упростим:

\[
2x + 1 = 123
\]

Решим это уравнение для \( x \):

\[
2x = 122 \quad \Rightarrow \quad x = 61
\]

Теперь находим \( y \):

\[
y = x + 1 = 61 + 1 = 62
\]

Ответ для первой пары: \( (61; 62) \).

2) Вторая пара значений:

Теперь предположим, что \( y — x = 3 \), тогда:

\[
y + x = 41
\]

Подставим \( y = x + 3 \) в уравнение \( y + x = 41 \):

\[
(x + 3) + x = 41
\]

Упростим:

\[
2x + 3 = 41
\]

Решим это уравнение для \( x \):

\[
2x = 38 \quad \Rightarrow \quad x = 19
\]

Теперь находим \( y \):

\[
y = x + 3 = 19 + 3 = 22
\]

Ответ для второй пары: \( (19; 22) \).

Ответ: (61; 62), (19; 22).