ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 447 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение с параметрами а и b:

а) (a-2b)/(x^2-4bx)=1/(a+2b);

б) (1+bx)/(a^2-x^2)=1/(a-x).

Решить уравнение:

a)
\[
\frac{a — 2b}{x^2 — 4bx} = \frac{1}{a + 2b};
\]

\[
(a — 2b)(a + 2b) = x^2 — 4bx;
\]

\[
a^2 — 4b^2 = x^2 — 4bx;
\]

\[
x^2 — 4bx + 4b^2 — a^2 = 0;
\]

\[
D = (4b)^2 — 4(4b^2 — a^2);
\]

\[
D = 16b^2 — 16b^2 + 4a^2 = 4a^2,
\]

тогда:

\[
x = \frac{4b \pm 2a}{2} = \frac{2(2b + a)}{2} = 2b \pm a;
\]

Ответ:
Если \(a \neq \pm 2b\), то \(2b — a;\ 2b + a;\)
Если \(a = \pm 2b\), то корней нет.

б)
\[
\frac{1 + bx}{a^2 — x^2} = \frac{1}{a — x};
\]

\[
1 + bx = a + x;
\]

\[
(b — 1)x = a — 1, \quad x = \frac{a — 1}{b — 1};
\]

Ответ:
Если \(b \neq 1\) и \(a \neq 1\), то \(x = \frac{a — 1}{b — 1};\)
Если \(b = 1\) и \(a \neq 1\), то корней нет;
Если \(a = b = 1\), то \(x \neq -1\) и \(x \neq 1.\)

a) Решим уравнение: \( \frac{a — 2b}{x^2 — 4bx} = \frac{1}{a + 2b} \)

Для начала умножим обе части на \( (x^2 — 4bx)(a + 2b) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\[
(a — 2b)(a + 2b) = x^2 — 4bx
\]

Теперь раскроем скобки:

\[
a^2 — 4b^2 = x^2 — 4bx
\]

Переносим все на одну сторону:

\[
x^2 — 4bx + 4b^2 — a^2 = 0
\]

Теперь находим дискриминант этого квадратного уравнения относительно \( x \):

\[
D = (4b)^2 — 4(4b^2 — a^2)
\]

Вычисляем дискриминант:

\[
D = 16b^2 — 16b^2 + 4a^2 = 4a^2
\]

Теперь находим корни этого уравнения:

\[
x = \frac{4b \pm 2a}{2} = 2b \pm a
\]

Ответ:

• Если \( a \neq \pm 2b \), то \( x = 2b — a \) или \( x = 2b + a \);
• Если \( a = \pm 2b \), то корней нет.

б) Решим уравнение: \( \frac{1 + bx}{a^2 — x^2} = \frac{1}{a — x} \)

Перемножим обе части на \( (a^2 — x^2)(a — x) \) и упрощаем:

\[
1 + bx = a + x
\]

Переносим все слагаемые на одну сторону:

\[
(b — 1)x = a — 1
\]

Делим обе части на \( (b — 1) \):

\[
x = \frac{a — 1}{b — 1}
\]

Ответ:

• Если \( b \neq 1 \) и \( a \neq 1 \), то \( x = \frac{a — 1}{b — 1} \);
• Если \( b = 1 \) и \( a \neq 1 \), то корней нет;
• Если \( a = b = 1 \), то \( x \neq -1 \) и \( x \neq 1 \).