ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 444 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение с параметром a:

а) x^4-(a^2+4)x^2+4a^2=0; б) 8x^4-ax^2=8x^2-a.

Решить уравнение:

a)
\[x^4 — (a^2 + 4)x^2 + 4a^2 = 0;\]

\[
D = (a^2 + 4)^2 — 4 \cdot 4a^2;
\]

\[
D = a^4 + 8a^2 + 16 — 16a^2;
\]

\[
D = a^4 — 8a^2 + 16 = (a^2 — 4)^2,
\]

тогда:
\[
x^2 = \frac{a^2 + 4 — (a^2 — 4)}{2} = 4, \quad x_1 = \pm 2;
\]

\[
x^2 = \frac{a^2 + 4 + (a^2 — 4)}{2} = a^2, \quad x_2 = \pm a;
\]

Ответ:
Если \(a \neq 0\), то \(a; -a; 2; -2;\)
Если \(a = 0\), то \(0; 2; -2.\)

b)
\[8x^4 — ax^2 = 8x^2 — a;\]

\[8x^4 — (a + 8)x^2 + a = 0;\]

\[
D = (a + 8)^2 — 4 \cdot 8 \cdot a;
\]

\[
D = a^2 + 16a + 64 — 32a;
\]

\[
D = a^2 — 16a + 64 = (a — 8)^2,
\]

тогда:
\[
x^2_1 = \frac{a + 8 — (a — 8)}{2 \cdot 8} = 1, \quad x_1 = \pm 1;
\]

\[
x^2_2 = \frac{a + 8 + (a — 8)}{2 \cdot 8} = \frac{a}{8}, \quad x_2 = \pm \sqrt{\frac{a}{8}};
\]

Ответ:
Если \(a > 0\), то \(\pm \sqrt{\frac{a}{8}}; \pm 1;\)
Если \(a = 0\), то \(0; 1; -1;\)
Если \(a < 0\), то \(1; -1.\)

a) Решим уравнение: \( x^4 — (a^2 + 4)x^2 + 4a^2 = 0 \)

Представим уравнение в виде квадратного относительно \( x^2 \):

\[
x^4 — (a^2 + 4)x^2 + 4a^2 = 0
\]

Обозначим \( y = x^2 \), тогда уравнение примет вид:

\[
y^2 — (a^2 + 4)y + 4a^2 = 0
\]

Теперь находим дискриминант этого квадратного уравнения относительно \( y \):

\[
D = (a^2 + 4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4a^2
\]

Вычислим дискриминант:

\[
D = a^4 + 8a^2 + 16 — 16a^2 = a^4 — 8a^2 + 16 = (a^2 — 4)^2
\]

Так как дискриминант является полным квадратом, уравнение имеет два корня:

\[
y_1 = \frac{a^2 + 4 — (a^2 — 4)}{2} = 4, \quad x_1 = \pm 2
\]

\[
y_2 = \frac{a^2 + 4 + (a^2 — 4)}{2} = a^2, \quad x_2 = \pm a
\]

Ответ:

• Если \( a \neq 0 \), то \( x = a; -a; 2; -2 \);
• Если \( a = 0 \), то \( x = 0; 2; -2 \).

b) Решим уравнение: \( 8x^4 — ax^2 = 8x^2 — a \)

Переносим все слагаемые на одну сторону:

\[
8x^4 — ax^2 — 8x^2 + a = 0
\]

Приводим подобные:

\[
8x^4 — (a + 8)x^2 + a = 0
\]

Теперь находим дискриминант этого квадратного уравнения относительно \( x^2 \):

\[
D = (a + 8)^2 — 4 \cdot 8 \cdot a
\]

Вычислим дискриминант:

\[
D = a^2 + 16a + 64 — 32a = a^2 — 16a + 64 = (a — 8)^2
\]

Так как дискриминант является полным квадратом, уравнение имеет два корня:

\[
x^2_1 = \frac{a + 8 — (a — 8)}{2 \cdot 8} = 1, \quad x_1 = \pm 1
\]

\[
x^2_2 = \frac{a + 8 + (a — 8)}{2 \cdot 8} = \frac{a}{8}, \quad x_2 = \pm \sqrt{\frac{a}{8}}
\]

Ответ:

• Если \( a > 0 \), то \( x = \pm \sqrt{\frac{a}{8}}; \pm 1 \);
• Если \( a = 0 \), то \( x = 0; 1; -1 \);
• Если \( a < 0 \), то \( x = 1; -1 \).