ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 436 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях a каждое решение совокупности [5x^2-14x-3?0, |x-2,5|?1,5] является решением неравенства |x|?a?

Найти все значения \( a \):

\[
\begin{cases}
5x^2 — 14x — 3 \leq 0, \\
|x — 2,5| \leq 1,5.
\end{cases}
\]

1) Первое неравенство:
\[
5x^2 — 14x — 3 \leq 0;
\]

\[
D = 14^2 + 4 \cdot 5 \cdot 3 = 196 + 60 = 256, \text{ тогда: }
\]

\[
x_1 = \frac{14 — 16}{2 \cdot 5} = -0,2, \quad x_2 =\]

\[\frac{14 + 16}{2 \cdot 5} = 3;
\]

\[
(x + 0,2)(x — 3) \leq 0;
\]

\[
-0,2 \leq x \leq 3.
\]

2) Второе неравенство:
\[
|x — 2,5| \leq 1,5;
\]

\[
-1,5 \leq x — 2,5 \leq 1,5;
\]

\[
1 \leq x \leq 4.
\]

3) Решения совпадают:

\[
x \in [1; 3], \quad a \geq 4.
\]

Ответ: \([4; +\infty)\).

Найдем все значения \( a \), удовлетворяющие системе:

\[
\begin{cases}
5x^2 — 14x — 3 \leq 0, \\
|x — 2,5| \leq 1,5.
\end{cases}
\]

1) Первое неравенство:

\[
5x^2 — 14x — 3 \leq 0
\]

Решим его с помощью дискриминанта:

\[
D = (-14)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 196 + 60 = 256, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x_1 = \frac{-(-14) — \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{14 — 16}{10} = -0,2, \quad x_2 = \frac{-(-14) + \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{14 + 16}{10} = 3;
\]

Теперь разложим на множители:

\[
(x + 0,2)(x — 3) \leq 0;
\]

Решение этого неравенства:

\[
-0,2 \leq x \leq 3.
\]

2) Второе неравенство:

\[
|x — 2,5| \leq 1,5
\]

Решим это неравенство:

\[
-1,5 \leq x — 2,5 \leq 1,5
\]

Прибавим 2,5 ко всем частям неравенства:

\[
1 \leq x \leq 4.
\]

3) Совпадение решений:

Теперь найдём пересечение решений двух неравенств:

1. \( -0,2 \leq x \leq 3 \)
2. \( 1 \leq x \leq 4 \)

Пересечение этих интервалов:

\[
x \in [1; 3].
\]

Теперь, чтобы найти все значения \( a \), рассмотрим, что \( a \geq 4 \), так как в результате пересечения \( x \) ограничен интервалом \( [1; 3] \).

Ответ: \( [4; +\infty) \)