ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 431 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) (|x-2|-4)(|x-3|-6) < 0;

б) (|x+1|-3)(|x-5|+10) > 0.

Решить неравенство:

a) \((|x — 2| — 4)(|x — 3| — 6) < 0\);

Первое неравенство:
\[
|x — 2| — 4 < 0; \quad |x — 2| < 4; \quad -4 < x — 2 < 4; \quad -2 < x < 6;
\]

Второе неравенство:
\[
|x — 3| — 6 < 0; \quad |x — 3| < 6; \quad -6 < x — 3 < 6; \quad -3 < x < 9;
\]

Ответ: \((-3; -2) \cup (6; 9)\).

b) \((|x + 1| — 3)(|x — 5| + 10) > 0\);

\[
|x + 1| — 3 > 0, \quad |x + 1| > 3;
\]

\[
x + 1 < -3, \quad x < -4; \quad x + 1 > 3, \quad x > 2;
\]

Ответ: \((-\infty; -4) \cup (2; +\infty)\).

a) Решим неравенство: \( (|x — 2| — 4)(|x — 3| — 6) < 0 \)

Шаг 1: Решим первое неравенство:

\[
|x — 2| — 4 < 0
\]

\[
|x — 2| < 4
\]

Это означает, что расстояние между \( x \) и 2 должно быть меньше 4. Решим это неравенство:

\[
-4 < x — 2 < 4
\]

Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

\[
-2 < x < 6
\]

Таким образом, из первого неравенства получаем: \( x \in (-2; 6) \).

Шаг 2: Решим второе неравенство:

\[
|x — 3| — 6 < 0
\]

\[
|x — 3| < 6
\]

Это означает, что расстояние между \( x \) и 3 должно быть меньше 6. Решим это неравенство:

\[
-6 < x — 3 < 6
\]
Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

\[
-3 < x < 9
\]

Таким образом, из второго неравенства получаем: \( x \in (-3; 9) \).

Шаг 3: Пересечение решений:

Пересечение интервалов \( (-2; 6) \) и \( (-3; 9) \) даёт:

\[
x \in (-2; 6)
\]

Шаг 4: Анализ знаков произведения:

Для решения исходного неравенства \( (|x — 2| — 4)(|x — 3| — 6) < 0 \), рассмотрим, когда произведение двух выражений будет отрицательным. Мы должны найти такие интервалы, на которых одно выражение будет положительным, а другое отрицательным:

1. Когда \( -2 < x < 3 \), первое выражение \( |x — 2| — 4 \) отрицательно, а второе \( |x — 3| — 6 \) положительно.
2. Когда \( 3 < x < 6 \), первое выражение \( |x — 2| — 4 \) положительно, а второе \( |x — 3| — 6 \) отрицательно.

Таким образом, решение:

\[
x \in (-3; -2) \cup (6; 9)
\]

Ответ: \( (-3; -2) \cup (6; 9) \)

b) Решим неравенство: \( (|x + 1| — 3)(|x — 5| + 10) > 0 \)

Шаг 1: Решим первое неравенство:

\[
|x + 1| — 3 > 0, \quad |x + 1| > 3
\]

Это означает, что расстояние между \( x \) и -1 должно быть больше 3. Решим это неравенство:

\[
x + 1 < -3, \quad x < -4; \quad x + 1 > 3, \quad x > 2
\]

Таким образом, из первого неравенства получаем два интервала: \( (-\infty; -4) \cup (2; +\infty) \).

Шаг 2: Решаем второе неравенство:

\[
|x — 5| + 10 > 0
\]

Это неравенство всегда выполняется, так как \( |x — 5| \geq 0 \), а \( 10 > 0 \).

Шаг 3: Пересечение решений:

Пересечение двух решений:

1. \( x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty) \)
2. Второе неравенство не накладывает ограничений.

Таким образом, окончательное решение:

\[
x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty)
\]

Ответ: \( (-\infty; -4) \cup (2; +\infty) \)