ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 419 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях m все точки графика функции y=x^2+2(m-1)x+m(1-m) расположены выше оси x?

Верно при любых x:

\[
x^2 + 2(m — 1)x + m(1 — m) > 0;
\]

\[
D = 4(m — 1)^2 — 4m(1 — m) < 0;
\]

\[
4(m^2 — 2m + 1) — 4(m — m^2) < 0;
\]

\[
m^2 — 2m + 1 — m + m^2 < 0;
\]

\[
2m^2 — 3m + 1 < 0.
\]

\[
D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \quad \text{тогда:}
\]

\[
m_1 = \frac{3 — 1}{2 \cdot 2} = 0,5 \quad \text{и} \quad m_2 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = 1;
\]

\[
(m — 0,5)(m — 1) < 0;
\]

\[
0,5 < m < 1.
\]

Ответ:

\[
(0,5; 1).
\]

Задано неравенство: \( x^2 + 2(m — 1)x + m(1 — m) > 0 \)

Шаг 1: Дискриминант для квадратного уравнения: \( D = 4(m — 1)^2 — 4m(1 — m) \)

Раскроем скобки:

\( D = 4(m^2 — 2m + 1) — 4(m — m^2) \)

Упростим:

\( D = 4m^2 — 8m + 4 — 4m + 4m^2 \)

\( D = 8m^2 — 12m + 4 \)

Шаг 2: Решаем неравенство: \( 8m^2 — 12m + 4 < 0 \)

Разделим на 4:

\( 2m^2 — 3m + 1 < 0 \)

Шаг 3: Находим дискриминант для уравнения \( 2m^2 — 3m + 1 = 0 \):

\( D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1 \)

Шаг 4: Находим корни уравнения:

\( m_1 = \frac{3 — 1}{2 \cdot 2} = 0.5 \quad \text{и} \quad m_2 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = 1 \)

Шаг 5: Решаем неравенство \( (m — 0.5)(m — 1) < 0 \):

Интервал, на котором произведение двух скобок отрицательно: \( 0.5 < m < 1 \)

Ответ: \( (0.5; 1) \)