ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 398 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите целые значения параметра a, при которых уравнение 1+(3ax-13x)/(x^2-a^2)=(13a-3a^2)/(a^2-x^2) имеет единственный корень, принадлежащий промежутку (—5; 5).

Имеет один корень:

\[
\frac{3ax — 13x}{x^2 — a^2} = \frac{13a — 3a^2}{a^2 — x^2}, \quad x \in (-5; 5);
\]

\[
a^2 — x^2 — 3ax + 13x = 13a — 3a^2;
\]

\[
x^2 + (3a — 13)x + 13a — 4a^2 = 0;
\]

\[
D = (3a — 13)^2 — 4(13a — 4a^2);
\]

\[
D = 9a^2 — 78a + 169 — 52a + 16a^2;
\]

\[
D = 25a^2 — 130a + 169 = (5a — 13)^2,
\]

тогда:

\[
x_1 = \frac{13 — 3a — (5a — 13)}{2} = \frac{26 — 8a}{2} = 13 — 4a;
\]

\[
x_2 = \frac{13 — 3a + (5a — 13)}{2} = \frac{2a + 0}{2} = a;
\]

Первое неравенство:

\[
-5 < 13 — 4a < 5;
\]

\[
-18 < -4a < -8;
\]

\[
-4.5 < a < -2;
\]

\[
2 < a < 4.5;
\]

Ответ: 3; 4.

Задано уравнение:

\( \frac{3ax — 13x}{x^2 — a^2} = \frac{13a — 3a^2}{a^2 — x^2}, \quad x \in (-5; 5) \)

Шаг 1: Преобразуем уравнение:

Умножим обе части на \( x^2 — a^2 \) (при условии, что \( x^2 \neq a^2 \), чтобы избежать деления на ноль):

\( (3ax — 13x) = (13a — 3a^2) \)

Шаг 2: Переносим все элементы на одну сторону:

\( a^2 — x^2 — 3ax + 13x = 13a — 3a^2 \)

После упрощения получаем:

\( x^2 + (3a — 13)x + 13a — 4a^2 = 0 \)

Шаг 3: Вычисляем дискриминант:

\( D = (3a — 13)^2 — 4(13a — 4a^2) \)

Раскрываем скобки:

\( D = 9a^2 — 78a + 169 — 52a + 16a^2 \)

\( D = 25a^2 — 130a + 169 \)

Получаем полный квадрат:

\( D = (5a — 13)^2 \)

Шаг 4: Находим корни с использованием формулы для квадратного уравнения:

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{13 — 3a — (5a — 13)}{2} = \frac{26 — 8a}{2} = 13 — 4a \)

\( x_2 = \frac{13 — 3a + (5a — 13)}{2} = \frac{2a + 0}{2} = a \)

Первое неравенство:

Рассмотрим неравенство \( -5 < 13 — 4a < 5 \):

1. Переносим 13 на обе стороны:

\( -5 — 13 < -4a < 5 — 13 \)

\( -18 < -4a < -8 \)

2. Делим обе части на -4, при этом знак неравенства меняется:

\( 4.5 < a < 2 \)

Ответ:

\( a \in (2; 4.5) \)

Итоговый ответ: \( 3; 4 \)