ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 394 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях параметра c уравнение x+1/x=c+1/c имеет единственный корень?

Имеет один корень:

\[
x + \frac{1}{x} = c + \frac{1}{c};
\]

\[
cx^2 + c = xc^2 + x;
\]

\[
cx^2 — (c^2 + 1)x + c = 0;
\]

\[
D = (c^2 + 1)^2 — 4c \cdot c = 0;
\]

\[
c^4 + 2c^2 + 1 — 4c^2 = 0;
\]

\[
c^4 — 2c^2 + 1 = 0;
\]

\[
(c^2 — 1)^2 = 0;
\]

\[
c^2 = 1, \quad c = \pm 1;
\]

Ответ:

\[
c = -1; \quad c = 1.
\]

Задано уравнение:

\( x + \frac{1}{x} = c + \frac{1}{c} \)

Шаг 1:

Из исходного уравнения \( x + \frac{1}{x} = c + \frac{1}{c} \), умножаем обе части на \(x\) и \(c\), чтобы избавиться от дробей:

\( cx^2 + c = xc^2 + x \)

Шаг 2:

Переносим все элементы на одну сторону:

\( cx^2 — (c^2 + 1)x + c = 0 \)

Шаг 3:

Вычисляем дискриминант для этого квадратного уравнения:

\( D = (c^2 + 1)^2 — 4c \cdot c \)

\( D = c^4 + 2c^2 + 1 — 4c^2 = 0 \)

Шаг 4:

Упрощаем выражение для дискриминанта:

\( c^4 + 2c^2 + 1 — 4c^2 = 0 \)

\( c^4 — 2c^2 + 1 = 0 \)

Шаг 5:

Разлагаем выражение на квадрат:

\( (c^2 — 1)^2 = 0 \)

Шаг 6:

Из этого уравнения получаем:

\( c^2 = 1 \), что даёт два решения:

\( c = \pm 1 \)

Ответ:

• \( c = 1 \);
• \( c = -1 \).