ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 384 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях параметра a имеет четыре корня уравнение:

а) x^4-(a+1)x^2+a=0; б) x^4-2ax^2+(6a-9)=0?

Имеет четыре корня:

а)

\[
x^4 — (a + 1)x^2 + a = 0;
\]

\[
D = (a + 1)^2 — 4a = a^2 + 2a + 1 — 4a = (a — 1)^2, \ \text{тогда:}
\]

\[
x_1^2 = \frac{(a + 1) — (a — 1)}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2^2 = \frac{(a + 1) + (a — 1)}{2} = a;
\]

\[
a > 0, \ a \neq 1;
\]

Ответ:

\[
(0; 1) \cup (1; +\infty).
\]

б)

\[
x^4 — 2ax^2 + (6a — 9) = 0;
\]

\[
D = (2a)^2 — 4(6a — 9) = 4a^2 — 24a + 36 = (2a — 6)^2, \ \text{тогда:}
\]

\[
x_1^2 = \frac{2a — (2a — 6)}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2^2 = \frac{2a + (2a — 6)}{2} = 2a — 3;
\]

\[
2a — 3 > 0, \ 2a — 3 \neq 3;
\]

\[
2a > 3, \ 2a \neq 6; \ a > 1.5, \ a \neq 3;
\]

Ответ:

\[
(1.5; 3) \cup (3; +\infty).
\]

Уравнение а)

Задано уравнение: \( x^4 — (a + 1)x^2 + a = 0 \)

1. Рассматриваем уравнение как квадратное относительно \(x^2\), подставим \( y = x^2 \), тогда уравнение примет вид:

\( y^2 — (a + 1)y + a = 0 \)

2. Вычисляем дискриминант \(D\) для этого уравнения. Для уравнения \( y^2 + By + C = 0 \), дискриминант \( D = B^2 — 4AC \). В нашем случае \( A = 1 \), \( B = -(a + 1) \), \( C = a \), подставляем в формулу для дискриминанта:

\( D = (a + 1)^2 — 4a \)

\( D = a^2 + 2a + 1 — 4a = (a — 1)^2 \)

3. Так как дискриминант \( D = (a — 1)^2 \) всегда неотрицателен, у нас будут действительные корни. Теперь находим корни:

\( x_1^2 = \frac{(a + 1) — (a — 1)}{2} = 1 \)

\( x_2^2 = \frac{(a + 1) + (a — 1)}{2} = a \)

4. Рассмотрим условия для второго корня: \( x_2^2 = a \). Чтобы корни существовали, \( a > 0 \), и также исключаем \( a = 1 \), потому что в этом случае \( x_2^2 = 1 \) даёт два одинаковых корня.

Ответ:

• Если \( 0 < a < 1 \), то корни находятся на интервале \( (0; 1) \);
• Если \( a > 1 \), то корни находятся на интервале \( (1; +\infty) \).

Уравнение б)

Задано уравнение: \( x^4 — 2ax^2 + (6a — 9) = 0 \)

1. Рассматриваем это уравнение как квадратное относительно \(x^2\), подставим \( y = x^2 \), тогда уравнение примет вид:

\( y^2 — 2ay + (6a — 9) = 0 \)

2. Вычисляем дискриминант \(D\) для этого уравнения:

\( D = (-2a)^2 — 4(6a — 9) \)

\( D = 4a^2 — 24a + 36 = (2a — 6)^2 \)

3. Корни уравнения:

\( x_1^2 = \frac{2a — (2a — 6)}{2} = 3 \)

\( x_2^2 = \frac{2a + (2a — 6)}{2} = 2a — 3 \)

4. Рассматриваем условия для второго корня: \( x_2^2 = 2a — 3 \). Чтобы корни существовали, нужно, чтобы \( 2a — 3 > 0 \), то есть \( a > 1.5 \), и исключаем \( a = 3 \), так как в этом случае \( x_2^2 = 3 \) даёт два одинаковых корня.

Ответ:

• Если \( 1.5 < a < 3 \), то корни находятся на интервале \( (1.5; 3) \);
• Если \( a > 3 \), то корни находятся на интервале \( (3; +\infty) \).