ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 377 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения x^2+ax=2x+a+3 равна 18?

Задано уравнение:
\[x^2 + ax = 2x + a + 3;\]

\[x^2 + (a — 2)x — a — 3 = 0;\]

1) По теореме Виета:
\[
x_1 + x_2 = 2 — a; \quad x_1 \cdot x_2 = -a — 3;
\]

2) Сумма квадратов:
\[
x_1^2 + x_2^2 = 18;
\]

\[
(x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2 = 18;
\]

\[
(2 — a)^2 + 2(a + 3) = 18;
\]

\[
4 — 4a + a^2 + 2a + 6 = 18;
\]

\[
a^2 — 2a — 8 = 0;
\]

\[
D = (-2)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 + 32 = 36,\ тогда:
\]

\[
a_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{36}}{2} = \frac{2 — 6}{2} = -2;
\]

\[
a_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4.
\]

Ответ: \(-2;\ 4.\)

Уравнение: \( x^2 + ax = 2x + a + 3 \)

1. Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

\( x^2 + ax — 2x — a — 3 = 0 \)

Упрощаем:

\( x^2 + (a — 2)x — a — 3 = 0 \)

2. Используем теорему Виета для нахождения суммы и произведения корней:

По теореме Виета, для уравнения вида \( x^2 + bx + c = 0 \) сумма корней \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \), а произведение корней \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \).

В нашем случае, \( a = 1 \), \( b = a — 2 \), и \( c = -a — 3 \), тогда:

• Сумма корней: \( x_1 + x_2 = 2 — a \);
• Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = -a — 3 \).

3. Сумма квадратов корней:

Используем формулу для суммы квадратов корней: \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2 \).

Подставляем значения:

\( x_1^2 + x_2^2 = (2 — a)^2 — 2(-a — 3) \)

Раскрываем квадрат и упрощаем:

\( (2 — a)^2 = 4 — 4a + a^2 \)

\( -2(-a — 3) = 2a + 6 \)

Таким образом, получаем уравнение:

\( 4 — 4a + a^2 + 2a + 6 = 18 \)

Упрощаем:

\( a^2 — 2a — 8 = 0 \)

4. Решаем полученное квадратное уравнение для \(a\):

Используем формулу для дискриминанта:

\( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \)

Находим корни уравнения:

\( a_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{36}}{2} = \frac{2 — 6}{2} = -2 \)

\( a_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4 \)

Ответ: \( a = -2 \) и \( a = 4 \).