ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 346 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство |x^2-2x| < x+4 и проиллюстрируйте ответ с помощью графиков функций y=|x^2-2x| и y=x+4.

Решить неравенство: \(|x^2 — 2x| < x + 4\)

1) Первое неравенство:
\[
x^2 — 2x > -x — 4
\]
\[
x^2 — x + 4 > 0
\]

Дискриминант:
\[
D = 1^2 — 4 \cdot 4 = -15
\]

\[
D < 0, \, \text{значит } x \in \mathbb{R}
\]

2) Второе неравенство:
\[
x^2 — 2x < x + 4
\]

\[
x^2 — 3x — 4 < 0
\]

Дискриминант:
\[
D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25
\]

Корни:
\[
x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4
\]

\[
(x + 1)(x — 4) \leq 0
\]

\[
-1 < x < 4
\]

Ответ: \((-1; 4)\).

Задача:

Решить неравенство:

\( |x^2 — 3x + 4| < x + 1 \)

Первое неравенство:

\( x^2 — 3x + 4 > -x — 1 \)

Упрощаем:

\( x^2 — 2x + 5 > 0 \)

Дискриминант:

\( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 — 20 = -16 \)

Так как дискриминант отрицателен, это выражение всегда положительно для всех \( x \). Следовательно, это неравенство выполняется для всех вещественных чисел \( x \).

\( x \in \mathbb{R} \)

Второе неравенство:

\( x^2 — 3x + 4 < x + 1 \)

Упрощаем:

\( x^2 — 3x — 4 < 0 \)

Теперь находим дискриминант:

\( D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4 \)

Теперь решаем неравенство \( (x + 1)(x — 4) \leq 0 \). Это неравенство выполняется, когда:

\( -1 \leq x \leq 4 \)

Ответ:

\( (-1; 4) \)