ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 330 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение |x-2|+|x-3|=1 и проиллюстрируйте ответ с помощью графика функции y=|x-2|+|x-3|.

Уравнение:
\[
|x — 2| + |x — 3| = 1
\]

1) Если \(x \leq 2\), тогда:
\[
y = 2 — x + 3 — x = 5 — 2x
\]

\[
5 — 2x = 1 \quad \Rightarrow \quad 2x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2
\]

2) Если \(2 < x \leq 3\), тогда:
\[
y = x — 2 + 3 — x = 1
\]

3) Если \(x > 3\), тогда:
\[
y = x — 2 + x — 3 = 2x — 5
\]

\[
2x — 5 = 1 \quad \Rightarrow \quad 2x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 3
\]

График функции:

Ответ:

\[
x \in [2; 3]
\]

Уравнение:

\( |x — 2| + |x — 3| = 1 \)

Для решения этого уравнения рассмотрим три случая в зависимости от значений \(x\):

1. Если \( x \leq 2 \):

В этом случае оба выражения внутри абсолютных величин будут отрицательными, то есть \( |x — 2| = 2 — x \) и \( |x — 3| = 3 — x \). Подставляем это в уравнение:

\( (2 — x) + (3 — x) = 1 \)

Упрощаем:

\( 5 — 2x = 1 \)

Решаем для \( x \):

\( 5 — 2x = 1 \quad \Rightarrow \quad 2x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \)

Таким образом, для \( x \leq 2 \), решение \( x = 2 \).

2. Если \( 2 < x \leq 3 \):

В этом случае \( |x — 2| = x — 2 \) и \( |x — 3| = 3 — x \). Подставляем это в уравнение:

\( (x — 2) + (3 — x) = 1 \)

Упрощаем:

\( 1 = 1 \)

Это тождество, которое всегда истинно. Следовательно, все значения \( x \) в интервале \( (2, 3] \) являются решениями.

3. Если \( x > 3 \):

В этом случае оба выражения внутри абсолютных величин будут положительными, то есть \( |x — 2| = x — 2 \) и \( |x — 3| = x — 3 \). Подставляем это в уравнение:

\( (x — 2) + (x — 3) = 1 \)

Упрощаем:

\( 2x — 5 = 1 \)

Решаем для \( x \):

\( 2x — 5 = 1 \quad \Rightarrow \quad 2x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \)

Таким образом, для \( x > 3 \), решение \( x = 3 \).

График функции:

График функции представляет собой кусочную линейную функцию с переходами на значениях \( x = 2 \) и \( x = 3 \), в которых значения функции переходят от одного линейного сегмента к другому. Эти переходы показывают, как изменяется значение функции в зависимости от промежутков, на которых происходит изменение поведения абсолютных величин.

Ответ:

\( x \in [2; 3] \)