ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 327 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) x^2-4|x+1|-41=0;

б) 3x^2-5|x-2|-12=0.

1. Уравнение (а):
\[
x^2 — 4|x + 1| — 41 = 0
\]

Если \(x \geq -1\):
\[
x^2 — 4(x + 1) — 41 = 0
\]

\[
x^2 — 4x — 4 — 41 = 0
\]

\[
x^2 — 4x — 45 = 0
\]
Дискриминант:

\[
D = 4^2 + 4 \cdot 45 = 16 + 180 = 196
\]
Корни:

\[
x_1 = \frac{4 — 14}{2} = -5, \quad x_2 = \frac{4 + 14}{2} = 9
\]

Если \(x < -1\):
\[
x^2 + 4(x + 1) — 41 = 0
\]

\[
x^2 + 4x + 4 — 41 = 0
\]

\[
x^2 + 4x — 37 = 0
\]
Дискриминант:

\[
D = 4^2 + 4 \cdot 37 = 16 + 148 = 164
\]
Корни:

\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{164}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{41}}{2} = -2 \pm \sqrt{41}
\]

Ответ:

\[
x = -2 — \sqrt{41}, \quad x = 9
\]

2. Уравнение (б):
\[
3x^2 — 5|x — 2| — 12 = 0
\]

Если \(x \geq 2\):
\[
3x^2 — 5(x — 2) — 12 = 0
\]

\[
3x^2 — 5x + 10 — 12 = 0
\]

\[
3x^2 — 5x — 2 = 0
\]
Дискриминант:

\[
D = 5^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 + 24 = 49
\]
Корни:

\[
x_1 = \frac{5 — 7}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = 2
\]

Если \(x < 2\):
\[
3x^2 + 5(x — 2) — 12 = 0
\]

\[
3x^2 + 5x — 10 — 12 = 0
\]

\[
3x^2 + 5x — 22 = 0
\]
Дискриминант:

\[
D = 5^2 + 4 \cdot 3 \cdot 22 = 25 + 264 = 289
\]
Корни:

\[
x_1 = \frac{-5 — 17}{2 \cdot 3} = -\frac{11}{3}, \quad x_2 = \frac{-5 + 17}{2 \cdot 3} = 2
\]

Ответ:

\[
x = 2, \quad x = — 3 \frac{2}{3}
\]

а) Уравнение: $x^2 — 4|x + 1| — 41 = 0$

Шаг 1: Разбираем два случая для $|x + 1|$

Если $x \geq -1$:
В этом случае $|x + 1| = x + 1$, так как выражение внутри модуля неотрицательное.

Подставляем $|x + 1| = x + 1$ в уравнение:

$$x^2 — 4(x + 1) — 41 = 0$$

Раскрываем скобки:

$$x^2 — 4x — 4 — 41 = 0$$

Упрощаем:

$$x^2 — 4x — 45 = 0$$

Это квадратное уравнение. Чтобы решить его, вычислим дискриминант $D$:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196$$

Корни квадратного уравнения находим по формуле:

$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 14}{2}$$

Таким образом, получаем два корня:

$$x_1 = \frac{4 — 14}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 + 14}{2} = 9$$

Однако, так как мы рассматриваем случай $x \geq -1$, то корень $x_1 = -5$ не подходит, так как он не удовлетворяет условию $x \geq -1$. Таким образом, остаётся корень:

$$x = 9$$

Если $x < -1$:
В этом случае $|x + 1| = -(x + 1)$, так как выражение внутри модуля отрицательное.

Подставляем $|x + 1| = -(x + 1)$ в уравнение:

$$x^2 — 4(-(x + 1)) — 41 = 0$$

Раскрываем скобки:

$$x^2 + 4x + 4 — 41 = 0$$

Упрощаем:

$$x^2 + 4x — 37 = 0$$

Это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-37) = 16 + 148 = 164$$

Корни квадратного уравнения находим по формуле:

$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{164}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{41}}{2} = -2 \pm \sqrt{41}$$

Таким образом, получаем два корня:

$$x_1 = -2 — \sqrt{41} \quad \text{и} \quad x_2 = -2 + \sqrt{41}$$

Поскольку мы рассматриваем случай $x < -1$, оба корня удовлетворяют этому условию. Таким образом, решения для этого случая:

$$x = -2 — \sqrt{41} \quad \text{и} \quad x = -2 + \sqrt{41}$$

Ответ для части а):

$$x = -2 — \sqrt{41}; \quad 9$$

б) Уравнение: $3x^2 — 5|x — 2| — 12 = 0$

Шаг 1: Разбираем два случая для $|x — 2|$

Если $x \geq 2$:
В этом случае $|x — 2| = x — 2$, так как выражение внутри модуля неотрицательное.

Подставляем $|x — 2| = x — 2$ в уравнение:

$$3x^2 — 5(x — 2) — 12 = 0$$

Раскрываем скобки:

$$3x^2 — 5x + 10 — 12 = 0$$

Упрощаем:

$$3x^2 — 5x — 2 = 0$$

Это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$$

Корни квадратного уравнения находим по формуле:

$$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 7}{6}$$

Таким образом, получаем два корня:

$$x_1 = \frac{5 — 7}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$$

Поскольку мы рассматриваем случай $x \geq 2$, то корень $x_1 = -\frac{1}{3}$ не удовлетворяет этому условию. Таким образом, остаётся корень:

$$x = 2$$

Если $x < 2$:
В этом случае $|x — 2| = -(x — 2) = 2 — x$, так как выражение внутри модуля отрицательное.

Подставляем $|x — 2| = 2 — x$ в уравнение:

$$3x^2 — 5(2 — x) — 12 = 0$$

Раскрываем скобки:

$$3x^2 — 10 + 5x — 12 = 0$$

Упрощаем:

$$3x^2 + 5x — 22 = 0$$

Это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-22) = 25 + 264 = 289$$

Корни квадратного уравнения находим по формуле:

$$x = \frac{-5 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 \pm 17}{6}$$

Таким образом, получаем два корня:

$$x_1 = \frac{-5 — 17}{6} = \frac{-22}{6} = -\frac{11}{3} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-5 + 17}{6} = \frac{12}{6} = 2$$

Поскольку мы рассматриваем случай $x < 2$, то корень $x_2 = 2$ не подходит, так как он не удовлетворяет условию $x < 2$. Таким образом, остаётся корень:

$$x = -\frac{11}{3}$$

Ответ для части б):

$$x = 2; \quad -\frac{11}{3}$$

Итоговые ответы:

а) $x = -2 — \sqrt{41}; \quad 9$

б) $x = 2; \quad -\frac{11}{3}$