ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 322 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сколько корней имеет уравнение |x-12|=a^2-5a+6 в зависимости от значений a?

Найти количество корней:
\(|x — 12| = a^2 — 5a + 6;\)

Знак правой части:

\[a^2 — 5a + 6 > 0;\]

\[D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1,\]
тогда:

\[a_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \; \text{и} \; a_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;\]

\((a — 2)(a — 3) > 0;\)

\[a < 2, \; a > 3;\]

Ответ:
нет корней при \(2 < a < 3;\)
один корень при \(a = 2\) и \(a = 3;\)
два корня при \(a < 2\) и \(a > 3.\)

Задано неравенство:

\( |x — 12| = a^2 — 5a + 6 \)

Решение:

Для того, чтобы найти количество корней у этого уравнения, начнем с анализа правой части выражения:

Итак, нам нужно решить неравенство \( a^2 — 5a + 6 > 0 \). Начнем с нахождения корней этого квадратного выражения с помощью дискриминанта.

Шаг 1: Рассчитаем дискриминант для квадратичного уравнения \( a^2 — 5a + 6 = 0 \):

\( D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1 \)

Дискриминант \( D = 1 \) является положительным числом, что означает, что у этого уравнения два действительных корня. Найдем эти корни.

Шаг 2: Находим корни уравнения \( a^2 — 5a + 6 = 0 \):

\( a_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 1}{2} = 2 \)

\( a_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3 \)

Теперь мы можем записать квадратное выражение в виде произведения двух множителей:

\( a^2 — 5a + 6 = (a — 2)(a — 3) \)

Шаг 3: Решим неравенство \( (a — 2)(a — 3) > 0 \).

Чтобы решить это неравенство, проанализируем знаки произведения двух множителей на различных интервалах:

Когда \( a < 2 \), оба множителя \( (a — 2) \) и \( (a — 3) \) отрицательны, их произведение будет положительным.

Когда \( 2 < a < 3 \), \( (a — 2) \) положителен, а \( (a — 3) \) отрицателен, их произведение будет отрицательным.

Когда \( a > 3 \), оба множителя \( (a — 2) \) и \( (a — 3) \) положительны, их произведение будет положительным.

Следовательно, неравенство \( (a — 2)(a — 3) > 0 \) выполняется, когда:

\( a < 2 \) или \( a > 3 \)

Шаг 4: Теперь найдем ответ, исходя из этих результатов:

Ответ:

Нет корней при \( 2 < a < 3 \);

Один корень при \( a = 2 \) и \( a = 3 \);

Два корня при \( a < 2 \) и \( a > 3 \).