ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 317 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях a неравенство (a-2)x^2-4x+a+2 < 0 верно при любом х?

Верно при любых \(x\):
\[
(a — 2)x^2 — 4x + a + 2 < 0;
\]

\[
D = 4^2 — 4(a — 2)(a + 2) < 0;
\]

\[
16 — 4(a^2 — 4) < 0;
\]

\[
16 — 4a^2 + 16 < 0;
\]

\[
4a^2 — 32 > 0, \quad a — 2 < 0;
\]

\[
a^2 — 8 > 0, \quad a < 2;
\]

\[
(a + 2\sqrt{2})(a — 2\sqrt{2}) > 0;
\]

\[
a < -2\sqrt{2}, \quad a > 2\sqrt{2};
\]

Ответ: \((- \infty; -2\sqrt{2})\).

Задано неравенство:

\( (a — 2)x^2 — 4x + a + 2 < 0 \)

Решение:

Для того чтобы это неравенство было верно при любых \( x \), рассмотрим дискриминант:

\( D = 4^2 — 4(a — 2)(a + 2) < 0 \)

Упрощаем:

\( D = 16 — 4(a^2 — 4) < 0 \)

\( 16 — 4a^2 + 16 < 0 \)

\( 32 — 4a^2 < 0 \)

\( 4a^2 > 32 \)

\( a^2 > 8 \)

Это означает, что:

\( a > \sqrt{8} \Rightarrow a > 2\sqrt{2} \quad \text{или} \quad a < -2\sqrt{2} \)

Ответ: \( (-\infty; -2\sqrt{2}) \)