ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 285 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях p множеством решении неравенства px^2-2(p-1)x+2p < 0 является пустое множество?

Не имеет решений:

\[
px^2 — 2(p — 1)x + 2p < 0;
\]

\[
D = 4(p — 1)^2 — 4 \cdot p \cdot 2p < 0;
\]

\[
4p^2 — 8p + 4 — 8p^2 < 0;
\]

\[
4p^2 + 8p — 4 > 0;
\]

\[
p^2 + 2p — 1 > 0;
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 1 = 4 + 4 = 8, \text{ тогда:}
\]

\[
p = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2};
\]

\[
p > -1 + \sqrt{2}, \quad p > 0;
\]

Ответ:

\[
(\sqrt{2} — 1; +\infty).
\]

Задача: Найдем условия, при которых неравенство не имеет решений:

Дано неравенство:

\( px^2 — 2(p — 1)x + 2p < 0 \)

Шаг 1: Рассмотрим дискриминант этого квадратного неравенства. Для начала найдем дискриминант \( D \) квадратного уравнения:

\( D = 4(p — 1)^2 — 4 \cdot p \cdot 2p \)

Шаг 2: Раскрываем скобки и упрощаем дискриминант:

\( D = 4(p — 1)^2 — 8p^2 = 4p^2 — 8p + 4 — 8p^2 \)

Шаг 3: Упрощаем полученное выражение для дискриминанта:

\( D = -4p^2 + 8p — 4 \)

Шаг 4: Чтобы уравнение не имело решений, дискриминант должен быть меньше нуля:

\( -4p^2 + 8p — 4 < 0 \)

Шаг 5: Умножаем обе стороны на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака, меняя знак неравенства:

\( 4p^2 — 8p + 4 > 0 \)

Шаг 6: Разбираем это квадратное неравенство:

\( p^2 + 2p — 1 > 0 \)

Шаг 7: Находим дискриминант этого уравнения:

\( D = 2^2 — 4 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8 \)

Шаг 8: Находим корни уравнения:

\( p = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2} \)

Шаг 9: Мы получаем два корня \( p_1 = -1 + \sqrt{2} \) и \( p_2 = -1 — \sqrt{2} \). Решение неравенства \( p^2 + 2p — 1 > 0 \) выполняется при \( p > -1 + \sqrt{2} \) или \( p < -1 — \sqrt{2} \). Однако, для выполнения условий задачи \( p > 0 \).

Шаг 10: Таким образом, ответ:

\( (\sqrt{2} — 1; +\infty) \)