ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 284 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях b неравенство верно при любых х:

а) bx^2-8x+b < 0; б) bx^2-3x+b > 0?

Верно при любом \( x \):

а)
\[
bx^2 — 8x + b < 0;
\]

\[
D = 8^2 — 4 \cdot b \cdot b < 0;
\]

\[
64 — 4b^2 < 0;
\]

\[
4(b^2 — 16) > 0;
\]

\[
(b + 4)(b — 4) > 0;
\]

\[
b < -4, \quad b > 4, \quad b < 0;
\]

Ответ:

\[
(-\infty; -4).
\]

б)
\[
bx^2 — 3x + b > 0;
\]

\[
D = 3^2 — 4 \cdot b \cdot b < 0;
\]

\[
9 — 4b^2 < 0;
\]

\[
4b^2 — 9 > 0;
\]

\[
(2b + 3)(2b — 3) > 0;
\]

\[
b < -1.5, \quad b > 1.5, \quad b > 0;
\]

Ответ:

\[
(1.5; +\infty).
\]

а) Разбор:

Дано неравенство:

\( bx^2 — 8x + b < 0 \)

Шаг 1: Находим дискриминант квадратного уравнения:

\( D = 8^2 — 4 \cdot b \cdot b \)

Шаг 2: Упрощаем дискриминант:

\( D = 64 — 4b^2 \)

Шаг 3: Для того чтобы неравенство было верно при любом \( x \), дискриминант должен быть меньше нуля:

\( 64 — 4b^2 < 0 \)

Шаг 4: Упрощаем неравенство:

\( 4b^2 — 16 > 0 \)

Шаг 5: Разбираем полученное неравенство:

\( (b + 4)(b — 4) > 0 \)

Шаг 6: Решаем неравенство:

Это неравенство выполняется при \( b < -4 \) или \( b > 4 \). Но для того чтобы неравенство было верно при любом \( x \), \( b \) должно быть отрицательным:

\( b < -4 \)

Ответ: \( (-\infty; -4) \)

б) Разбор:

Дано неравенство:

\( bx^2 — 3x + b > 0 \)

Шаг 1: Находим дискриминант квадратного уравнения:

\( D = 3^2 — 4 \cdot b \cdot b \)

Шаг 2: Упрощаем дискриминант:

\( D = 9 — 4b^2 \)

Шаг 3: Для того чтобы неравенство было верно при любом \( x \), дискриминант должен быть меньше нуля:

\( 9 — 4b^2 < 0 \)

Шаг 4: Упрощаем неравенство:

\( 4b^2 — 9 > 0 \)

Шаг 5: Разбираем полученное неравенство:

\( (2b + 3)(2b — 3) > 0 \)

Шаг 6: Решаем неравенство:

Это неравенство выполняется при \( b < -1.5 \) или \( b > 1.5 \). Но для того чтобы неравенство было верно при любом \( x \), \( b \) должно быть положительным:

\( b > 1.5 \)

Ответ: \( (1.5; +\infty) \)