ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 263 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите графически уравнение: а) (x+7)/(x+1)=x^2+4; б) (x+6)/x=x^3.

Решить графически уравнение:

a)
\[
\frac{x + 7}{x + 1} = x^2 + 4;
\]

\[
y = 1 + \frac{6}{x + 1};
\]

\(x_0 = -1, \, y_0 = 1;\)

\(y = x^2 + 4;\)

\(x_0 = 0, \, y_0 = 4.\)

Графики функций:

Ответ: \(x \approx 0,7.\)

б)
\[
\frac{x + 6}{x} = x^3;
\]

\[
y = 1 + \frac{6}{x};
\]

\(x_0 = 0, \, y_0 = 1;\)

\(y = x^3;\)

\(x_0 = 0, \, y_0 = 0.\)

Графики функций:

Ответ: \(x_1 \approx 1,7;\, x_2 \approx -1,5.\)

а) Решить графически:

$$\frac{x + 7}{x + 1} = x^2 + 4$$

Шаг 1. Обозначим функции:

Преобразуем уравнение к виду:

$$y = \frac{x + 7}{x + 1}, \quad y = x^2 + 4$$

Обозначим:

• $f(x) = \frac{x + 7}{x + 1}$ — дробно-рациональная функция
• $g(x) = x^2 + 4$ — квадратичная функция (парабола)

Шаг 2. Анализ графиков

Функция $f(x) = \dfrac{x + 7}{x + 1}$:

• Область определения: $x \ne -1$
• Вертикальная асимптота: $x = -1$
• Это рациональная функция: прямая гипербола
• При $x \to -1^+$: $f(x) \to +\infty$
• При $x \to -1^-$: $f(x) \to -\infty$

Точка:

• $x = -1$: не входит в ОДЗ
• $x = 0$: $f(0) = \frac{0 + 7}{0 + 1} = 7$
• $x = 1$: $f(1) = \frac{1 + 7}{1 + 1} = \frac{8}{2} = 4$

Функция $g(x) = x^2 + 4$:

• Парабола, ветви вверх
• Вершина в точке $x = 0$, $y = 4$
• Область определения: $\mathbb{R}$
• Монотонно убывает на $(-\infty, 0]$, возрастает на $[0, +\infty)$

Точка:

• $x = 0$: $g(0) = 4$
• $x = 1$: $g(1) = 1^2 + 4 = 5$
• $x = 0.7$: $g(0.7) = 0.49 + 4 = 4.49$

Шаг 3. Графический анализ

На графике видно:

• Один корень уравнения, примерно между $x = 0.6$ и $x = 0.8$
• Это точка пересечения гиперболы $f(x)$ и параболы $g(x)$
• Значения функций в этой точке примерно равны

Подбор значений:

• $x = 0.7$:
  • $f(0.7) = \frac{0.7 + 7}{0.7 + 1} = \frac{7.7}{1.7} \approx 4.53$
  • $g(0.7) = 0.49 + 4 = 4.49$

Разница очень мала: $f(x) \approx g(x)$

Ответ:

$$\boxed{x \approx 0.7}$$

б) Решить графически:

$$\frac{x + 6}{x} = x^3$$

Шаг 1. Обозначим функции:

Преобразуем:

$$y = \frac{x + 6}{x}, \quad y = x^3$$

Обозначим:

• $f(x) = \dfrac{x + 6}{x}$ — дробно-рациональная функция
• $g(x) = x^3$ — кубическая функция

Шаг 2. Анализ графиков

Функция $f(x) = \dfrac{x + 6}{x} = 1 + \dfrac{6}{x}$:

• Область определения: $x \ne 0$
• Вертикальная асимптота: $x = 0$
• Это рациональная функция, комбинация линейной и обратной пропорциональности
• При $x \to 0^+$: $f(x) \to +\infty$
• При $x \to 0^-$: $f(x) \to -\infty$

Точки:

• $x = 1$: $f(1) = 1 + 6 = 7$
• $x = 2$: $f(2) = 1 + 3 = 4$
• $x = -2$: $f(-2) = 1 — 3 = -2$

Функция $g(x) = x^3$:

• Кубическая функция
• Возрастает на всей числовой прямой
• Симметрична относительно начала координат

Точки:

• $x = 1$: $g(1) = 1$
• $x = 2$: $g(2) = 8$
• $x = -2$: $g(-2) = -8$

Шаг 3. Графический анализ

На графике видно:

• Две точки пересечения:
  • Одна в правой части графика, около $x = 1.7$
  • Вторая — в левой части графика, около $x = -1.5$

Проверка численно:

Правая точка:

• $x = 1.7$:
  • $f(1.7) = 1 + \frac{6}{1.7} \approx 1 + 3.53 = 4.53$
  • $g(1.7) = 1.7^3 \approx 4.91$

Значения близки → подтверждается

Левая точка:

• $x = -1.5$:
  • $f(-1.5) = 1 + \frac{6}{-1.5} = 1 — 4 = -3$
  • $g(-1.5) = (-1.5)^3 = -3.375$

Значения близки → подтверждается

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x_1\approx 1.7,x_2\approx -1.5}}$$