ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 239 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Запишите уравнение четвёртой степени, корни которого противоположны корням уравнения x^4+x^3-2x^2+12x-16=0.

Задано уравнение:
\[ x^4 + x^3 — 2x^2 + 12x — 16 = 0; \]

1) Согласно теореме Виета:
\[ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -1, \quad x_1x_2x_3x_4 = -16; \]

\[ x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 = -2; \]

\[ x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4 = -12; \]

2) Противоположные корни:
\[
a = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -1, \quad d = x_1x_2x_3x_4 = -16;
\]

\[
b = x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 = -2;
\]

\[
c = x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4 = -12.
\]

Ответ:

\[ x^4 + x^3 — 2x^2 — 12x — 16 = 0. \]

Задано уравнение:

\( x^4 + x^3 — 2x^2 + 12x — 16 = 0; \)

1) Согласно теореме Виета, для уравнения четвертой степени с корнями \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), и \(x_4\), мы можем записать следующие соотношения для коэффициентов:

Сумма корней: \(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -1\);

Произведение корней: \(x_1x_2x_3x_4 = -16\);

Сумма произведений пар корней: \(x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 = -2\);

Сумма произведений троек корней: \(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4 = -12\);

2) Теперь, подставим данные из теоремы Виета в уравнение и найдем коэффициенты уравнения, если корни уравнения противоположные. Противоположные корни означают, что знак корней будет изменяться в зависимости от переменной.

Обозначим коэффициенты для удобства:

\( a = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -1 \) — сумма всех корней;

\( d = x_1x_2x_3x_4 = -16 \) — произведение всех корней;

\( b = x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 = -2 \) — сумма произведений всех возможных пар корней;

\( c = x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4 = -12 \) — сумма произведений троек корней;

Теперь подставляем полученные значения в уравнение с обратными корнями. У нас есть следующие значения:

\( a = -1 \);

\( d = -16 \);

\( b = -2 \);

\( c = -12 \);

3) Составим уравнение для этих значений:

\[
x^4 + x^3 — 2x^2 — 12x — 16 = 0.
\]

Таким образом, мы доказали, что уравнение для противоположных корней будет:

Ответ: \( x^4 + x^3 — 2x^2 — 12x — 16 = 0. \)