ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 237 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Составьте кубическое уравнение, корни которого обратны корням уравнения x^3-3x^2-10x+24=0.

Задано уравнение:

\[ x^3 — 3x^2 — 10x + 24 = 0 \]

1) Согласно теореме Виета:

\[ x_1 + x_2 + x_3 = 3, \quad x_1x_2x_3 = -24; \quad x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = -10 \]

2) Найдём обратные корни:
\[
b = -\left( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} \right) =\]

\[-\frac{x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3}{x_1x_2x_3} = -\frac{-10}{-24} = -\frac{10}{24};
\]

\[
c = \frac{1}{x_1x_2} + \frac{1}{x_1x_3} + \frac{1}{x_2x_3} =\]

\[\frac{x_1 + x_2 + x_3}{x_1x_2x_3} = \frac{3}{-24} = -\frac{3}{24};
\]

\[
d = -\frac{1}{x_1x_2x_3} = -\frac{1}{-24} = \frac{1}{24}.
\]

3) Составим уравнение:
\[
x^3 — \frac{10}{24}x^2 — \frac{3}{24}x + \frac{1}{24} = 0;
\]

\[
24x^3 — 10x^2 — 3x + 1 = 0.
\]

Ответ:

\[ 24x^3 — 10x^2 — 3x + 1 = 0. \]

Задано уравнение:

\( x^3 — 3x^2 — 10x + 24 = 0 \)

1) Согласно теореме Виета, для уравнения третьей степени с коэффициентами \( a = 1 \), \( b = -3 \), \( c = -10 \), и \( d = 24 \), мы можем записать следующие выражения для корней \(x_1\), \(x_2\), и \(x_3\):

\[
x_1 + x_2 + x_3 = 3, \quad x_1x_2x_3 = -24, \quad x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = -10;
\]

2) Найдём обратные корни:

Используем формулу для суммы обратных корней:

\[
b = -\left( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} \right) = -\frac{x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3}{x_1x_2x_3} = -\frac{-10}{-24} = -\frac{10}{24};
\]

Далее, находим значение для \(c\):

\[
c = \frac{1}{x_1x_2} + \frac{1}{x_1x_3} + \frac{1}{x_2x_3} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{x_1x_2x_3} = \frac{3}{-24} = -\frac{3}{24};
\]

Теперь находим \(d\):

\[
d = -\frac{1}{x_1x_2x_3} = -\frac{1}{-24} = \frac{1}{24}.
\]

3) Составим уравнение для обратных корней:

\[
x^3 — \frac{10}{24}x^2 — \frac{3}{24}x + \frac{1}{24} = 0;
\]

Умножим все части уравнения на 24, чтобы избавиться от знаменателей:

\[
24x^3 — 10x^2 — 3x + 1 = 0.
\]

Ответ: \( 24x^3 — 10x^2 — 3x + 1 = 0. \)