ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 217 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения:

а) x^3=x^2-2; г) (x+2)^3+2(x-1)^2=66;

б) x^3+x^2-x+2=0; д) (x+3)^3-(x-1)^2-4=0;

в) x^3+x^2-7x+5=0; е) (x-3)^3+8(x-2)^2=0.

Решить уравнение:

а) $x^3=x^2-2$;
$x^3-x^2+2=0$;

$$\overline{)\begin{array}{ccccc}& 1& -1& 0& 2\\ -1& 1& -2& 2& 0\end{array}}$$

$(x+1)(x^2-2x+2)=0$;
$x+1=0,x=-1$;
Ответ: $-1$.

б) $x^3+x^2-x+2=0$;

$$\overline{)\begin{array}{ccccc}& 1& 1& -1& 2\\ -2& 1& -1& 1& 0\end{array}}$$

$(x+2)(x^2-x+1)=0$;
$x+2=0,x=-2$;
Ответ: $-2$.

в) $x^3+x^2-7x+5=0$;

$$\overline{)\begin{array}{ccccc}& 1& 1& -7& 5\\ 1& 1& 2& -5& 0\end{array}}$$

$(x-1)(x^2+2x-5)=0$;
$D=2^2+4\cdot 5=4+20=24$, тогда:
$x={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{24}}{2}}={\displaystyle \frac{-2\pm 2\sqrt{6}}{2}}=-1\pm \sqrt{6}$;
Ответ: $1;-1\pm \sqrt{6}$.

г) $(x+2{)}^3+2(x-1{)}^2=66$;
$x^3+6x^2+12x+8+2x^2-4x+2=66$;
$x^3+8x^2+8x-56=0$;

$$\overline{)\begin{array}{ccccc}& 1& 8& 8& -56\\ 2& 1& 10& 28& 0\end{array}}$$

$(x-2)(x^2+10x+28)=0$;
$x-2=0,x=2$;
Ответ: $2$.

д) $(x+3{)}^3-(x-1{)}^2-4=0$;
$x^3+9x^2+27x+27-x^2+2x-1-4=0$;
$x^3+8x^2+29x+22=0$;

$$\overline{)\begin{array}{ccccc}& 1& 8& 29& 22\\ -1& 1& 7& 22& 0\end{array}}$$

$(x+1)(x^2+7x+22)=0$;
$x+1=0,x=-1$;
Ответ: $-1$.

е) $(x-3{)}^3+8(x-2{)}^2=0$;
$x^3-9x^2+27x-27+8x^2-32x+32=0$;
$x^3-x^2-5x+5=0$;
$x^2(x-1)-5(x-1)=0$;
$(x^2-5)(x-1)=0$;
$(x+\sqrt{5})(x-1)(x-\sqrt{5})=0$;
$x_1=-\sqrt{5},x_2=1,x_3=\sqrt{5}$;
Ответ: $-\sqrt{5};1;\sqrt{5}$.

а) $x^3=x^2-2$

Шаг 1: Переносим все в левую часть

$$x^3-x^2+2=0$$

Шаг 2: Составим таблицу Горнера для $x=-1$

Проверим $x=-1$:

$$(-1{)}^3-(-1{)}^2+2=-1-1+2=0\Rightarrow x=-1\text{ — корень}$$

Шаг 3: Деление по схеме Горнера

$$\overline{)\begin{array}{ccccc}& 1& -1& 0& 2\\ -1& 1& -2& 2& 0\end{array}}$$

• $1$ переносим вниз.
• $-1\cdot 1=-1$; $-1+(-1)=-2$
• $-1\cdot -2=2$; $0+2=2$
• $-1\cdot 2=-2$; $2+(-2)=0$

Шаг 4: Получаем разложение

$$x^3-x^2+2=(x+1)(x^2-2x+2)$$

Шаг 5: Решим квадратное уравнение

$$x^2-2x+2=0$$

Дискриминант:

$$D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot 2=4-8=-4\Rightarrow \text{нет действительных корней}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle -1}}$$

б) $x^3+x^2-x+2=0$

Шаг 1: Пробуем $x=-2$

$$(-2{)}^3+(-2{)}^2-(-2)+2=-8+4+2+2=0\Rightarrow x=-2\text{ — корень}$$

Шаг 2: Схема Горнера

$$\overline{)\begin{array}{ccccc}& 1& 1& -1& 2\\ -2& 1& -1& 1& 0\end{array}}$$

Промежуточные вычисления:

• $1$
• $1+(-2\cdot 1)=-1$
• $-1+(-2\cdot -1)=1$
• $2+(-2\cdot 1)=0$

Шаг 3: Разложение

$$x^3+x^2-x+2=(x+2)(x^2-x+1)$$

Шаг 4: Квадратное уравнение

$$x^2-x+1=0\Rightarrow D=(-1{)}^2-4=1-4=-3\Rightarrow \text{нет действительных корней}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle -2}}$$

в) $x^3+x^2-7x+5=0$

Шаг 1: Пробуем $x=1$

$$1^3+1^2-7\cdot 1+5=1+1-7+5=0\Rightarrow x=1\text{ — корень}$$

Шаг 2: Схема Горнера

$$\overline{)\begin{array}{ccccc}& 1& 1& -7& 5\\ 1& 1& 2& -5& 0\end{array}}$$

• $1$
• $1+1=2$
• $-7+1\cdot 2=-5$
• $5+1\cdot -5=0$

Шаг 3: Разложение

$$x^3+x^2-7x+5=(x-1)(x^2+2x-5)$$

Шаг 4: Квадратное уравнение

$$x^2+2x-5=0\Rightarrow D=2^2+4\cdot 5=4+20=24$$$$x=\frac{-2\pm \sqrt{24}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{6}}{2}=-1\pm \sqrt{6}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 1;-1\pm \sqrt{6}}}$$

г) $(x+2{)}^3+2(x-1{)}^2=66$

Шаг 1: Раскроем скобки

• $(x+2{)}^3=x^3+3x^2\cdot 2+3x\cdot 4+8=x^3+6x^2+12x+8$
• $2(x-1{)}^2=2(x^2-2x+1)=2x^2-4x+2$

Сложим:

$$x^3+6x^2+12x+8+2x^2-4x+2=66\Rightarrow x^3+8x^2+8x+10=66\Rightarrow$$

$$x^3+8x^2+8x-56=0$$

Шаг 2: Пробуем $x=2$

$$2^3+8\cdot 2^2+8\cdot 2-56=8+32+16-56=0\Rightarrow x=2$$

Шаг 3: Схема Горнера

$$\overline{)\begin{array}{ccccc}& 1& 8& 8& -56\\ 2& 1& 10& 28& 0\end{array}}$$

Шаг 4: Разложение

$$x^3+8x^2+8x-56=(x-2)(x^2+10x+28)$$

Шаг 5: Квадратное уравнение

$$D={10}^2-4\cdot 28=100-112=-12\Rightarrow \text{нет действительных корней}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 2}}$$

д) $(x+3{)}^3-(x-1{)}^2-4=0$

Шаг 1: Раскроем скобки

• $(x+3{)}^3=x^3+9x^2+27x+27$
• $(x-1{)}^2=x^2-2x+1$

Подставим:

$$x^3+9x^2+27x+27-x^2+2x-1-4=0\Rightarrow x^3+8x^2+29x+22=0$$

Шаг 2: Пробуем $x=-1$

$$(-1{)}^3+8(-1{)}^2+29(-1)+22=-1+8-29+22=0\Rightarrow x=-1$$

Шаг 3: Схема Горнера

$$\overline{)\begin{array}{ccccc}& 1& 8& 29& 22\\ -1& 1& 7& 22& 0\end{array}}$$

Шаг 4: Разложение

$$x^3+8x^2+29x+22=(x+1)(x^2+7x+22)$$

Шаг 5: Квадратное уравнение

$$D=7^2-4\cdot 22=49-88=-39\Rightarrow \text{нет действительных корней}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle -1}}$$

е) $(x-3{)}^3+8(x-2{)}^2=0$

Шаг 1: Раскрываем скобки

• $(x-3{)}^3=x^3-9x^2+27x-27$
• $8(x-2{)}^2=8(x^2-4x+4)=8x^2-32x+32$

Складываем:

$$x^3-x^2-5x+5=0$$

Шаг 2: Группировка

$$x^3-x^2-5x+5=(x^2-5)(x-1)$$

Проверка:
$(x^2-5)(x-1)=x^3-x^2-5x+5$

Шаг 3: Найдём корни

$$x-1=0\Rightarrow x=1$$$$x^2-5=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{5}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle -\sqrt{5};1;\sqrt{5}}}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{{\displaystyle -1}}$
б) $\boxed{{\displaystyle -2}}$
в) $\boxed{{\displaystyle 1;-1\pm \sqrt{6}}}$
г) $\boxed{{\displaystyle 2}}$
д) $\boxed{{\displaystyle -1}}$
е) $\boxed{{\displaystyle -\sqrt{5};1;\sqrt{5}}}$