ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 216 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) x^3+5x^2+7x+3=0; в) y^3-y^2-8y+12=0;

б) x^3+2x^2-4x+1=0; г) y^3-y^2-14y+24=0,

Решить уравнение:

а) $x^3 + 5x^2 + 7x + 3 = 0$;

$$\begin{array}{c|cccc} & 1 & 5 & 7 & 3 \\ \hline -1 & 1 & 4 & 3 & 0 \\ \end{array}$$

$(x + 1)(x^2 + 4x + 3) = 0$;

$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$, тогда:

$x_1 = \dfrac{-4 — 2}{2} = -3$ и $x_2 = \dfrac{-4 + 2}{2} = -1$;

Ответ: $-3; -1$.

б) $x^3 + 2x^2 — 4x + 1 = 0$;

$$\begin{array}{c|cccc} & 1 & 2 & -4 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 3 & -1 & 0 \\ \end{array}$$

$(x — 1)(x^2 + 3x — 1) = 0$;

$D = 3^2 + 4 \cdot 1 = 9 + 4 = 13$, тогда:

$x_1 = \dfrac{-3 — \sqrt{13}}{2}$ и $x_2 = \dfrac{-3 + \sqrt{13}}{2}$;

Ответ: $1; \dfrac{-3 + \sqrt{13}}{2}$.

в) $y^3 — y^2 — 8y + 12 = 0$;

$$\begin{array}{c|cccc} & 1 & -1 & -8 & 12 \\ \hline 2 & 1 & 1 & -6 & 0 \\ \end{array}$$

$(y — 2)(y^2 + y — 6) = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$, тогда:

$y_1 = \dfrac{-1 — 5}{2} = -3$ и $y_2 = \dfrac{-1 + 5}{2} = 2$;

Ответ: $-3; 2$.

г) $y^3 — y^2 — 14y + 24 = 0$;

$$\begin{array}{c|cccc} & 1 & -1 & -14 & 24 \\ \hline 2 & 1 & 1 & -12 & 0 \\ \end{array}$$

$(y — 2)(y^2 + y — 12) = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49$, тогда:

$y_1 = \dfrac{-1 — 7}{2} = -4$ и $y_2 = \dfrac{-1 + 7}{2} = 3$;

Ответ: $-4; 2; 3$.

а) $x^3+5x^2+7x+3=0$

Шаг 1: Анализ уравнения

Это кубическое уравнение:

$$x^3+5x^2+7x+3=0$$

Попробуем найти рациональный корень.
Подставим $x=-1$:

$$(-1{)}^3+5(-1{)}^2+7(-1)+3=-1+5-7+3=0\Rightarrow x=-1\text{ — корень}$$

Шаг 2: Делим многочлен на $x+1$ (с помощью схемы Горнера)

$$\begin{array}{ccccc}& 1& 5& 7& 3\\ -1& 1& 4& 3& 0\end{array}$$

Пояснение:

• Слева — корень $-1$
• Верхняя строка — коэффициенты многочлена
• Нижняя строка:
  • Первый элемент: $1$
  • $5+(-1)\cdot 1=4$
  • $7+(-1)\cdot 4=3$
  • $3+(-1)\cdot 3=0$ — остаток 0

Шаг 3: Получаем разложение

$$x^3+5x^2+7x+3=(x+1)(x^2+4x+3)$$

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение

$$x^2+4x+3=0$$

Дискриминант:

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$$

Корни:

$$x_1=\frac{-4-\sqrt{4}}{2}=\frac{-6}{2}=-3$$$$x_2=\frac{-4+\sqrt{4}}{2}=\frac{-2}{2}=-1$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle -3;-1}}$$

б) $x^3+2x^2-4x+1=0$

Шаг 1: Анализ

Подставим $x=1$:

$$1^3+2\cdot 1^2-4\cdot 1+1=1+2-4+1=0\Rightarrow x=1\text{ — корень}$$

Шаг 2: Деление по схеме Горнера

$$\begin{array}{ccccc}& 1& 2& -4& 1\\ 1& 1& 3& -1& 0\end{array}$$

Пояснение:

• $2+1\cdot 1=3$
• $-4+1\cdot 3=-1$
• $1+1\cdot (-1)=0$

Шаг 3: Разложение

$$x^3+2x^2-4x+1=(x-1)(x^2+3x-1)$$

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

$$x^2+3x-1=0$$$$D=3^2-4\cdot 1\cdot (-1)=9+4=13$$$$x_1=\frac{-3-\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 1;\frac{-3\pm \sqrt{13}}{2}}}$$

в) $y^3-y^2-8y+12=0$

Шаг 1: Проверим $y=2$

$$(2{)}^3-(2{)}^2-8\cdot 2+12=8-4-16+12=0\Rightarrow y=2\text{ — корень}$$

Шаг 2: Деление по схеме Горнера

$$\begin{array}{ccccc}& 1& -1& -8& 12\\ 2& 1& 1& -6& 0\end{array}$$

Пояснение:

• $-1+1\cdot 2=1$
• $-8+2\cdot 1=-6$
• $12+2\cdot (-6)=0$

Шаг 3: Разложение

$$y^3-y^2-8y+12=(y-2)(y^2+y-6)$$

Шаг 4: Квадратное уравнение

$$y^2+y-6=0$$$$D=1^2+4\cdot 6=1+24=25$$$$y_1=\frac{-1-5}{2}=-3,y_2=\frac{-1+5}{2}=2$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle -3;2}}$$

г) $y^3-y^2-14y+24=0$

Шаг 1: Проверим $y=2$

$$(2{)}^3-(2{)}^2-14\cdot 2+24=8-4-28+24=0\Rightarrow y=2\text{ — корень}$$

Шаг 2: Схема Горнера

$$\begin{array}{ccccc}& 1& -1& -14& 24\\ 2& 1& 1& -12& 0\end{array}$$$$(y-2)(y^2+y-12)$$

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение

$$y^2+y-12=0$$$$D=1^2+4\cdot 12=1+48=49$$$$y_1=\frac{-1-7}{2}=-4,y_2=\frac{-1+7}{2}=3$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle -4;2;3}}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{{\displaystyle -3;-1}}$
б) $\boxed{{\displaystyle 1;\frac{-3\pm \sqrt{13}}{2}}}$
в) $\boxed{{\displaystyle -3;2}}$
г) $\boxed{{\displaystyle -4;2;3}}$