ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 214 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если сумма коэффициентов при нечётных степенях переменной в многочлене P(x) равна сумме коэффициентов при чётных степенях переменной, то одним из корней уравнения P(x)=0 (и корнем многочлена) является число —1. Докажите обратное утверждение.

Задан многочлен:

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀, n = 2k;

Если P(-1) = 0, тогда a₀ + a₂ + … + a_n = a₁ + a₃ + … + a_n-1;

Если a₀ + a₂ + … + a_n = a₁ + a₃ + … + a_n-1, тогда P(-1) = 0;

Что и требовалось доказать.

Многочлен:

$$P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0,$$

где $n = 2k$ — чётное число.

Утверждение

• Если $P(-1) = 0$, то

$$a_0 + a_2 + a_4 + \cdots + a_n = a_1 + a_3 + a_5 + \cdots + a_{n-1}.$$

• И наоборот: если это равенство коэффициентов выполнено, то $P(-1) = 0$.

Шаг 1. Вычисление $P(-1)$

Подставим $x = -1$:

$$P(-1) = a_n(-1)^n + a_{n-1}(-1)^{n-1} + \cdots + a_1(-1) + a_0.$$

Общая форма:

$$P(-1) = \sum_{i=0}^n a_i(-1)^i.$$

Так как $(-1)^i = 1$, если $i$ чётное, и $(-1)^i = -1$, если $i$ нечётное, получаем:

$$P(-1) = a_0 — a_1 + a_2 — a_3 + \cdots — a_{n-1} + a_n.$$

Группируя слагаемые:

$$P(-1) = (a_0 + a_2 + a_4 + \cdots + a_n) — (a_1 + a_3 + a_5 + \cdots + a_{n-1}).$$

Шаг 2. Доказательство прямого утверждения

Если $P(-1) = 0$, то:

$$(a_0 + a_2 + a_4 + \cdots + a_n) — (a_1 + a_3 + a_5 + \cdots + a_{n-1}) = 0.$$

Следовательно:

$$a_0 + a_2 + \cdots + a_n = a_1 + a_3 + \cdots + a_{n-1}.$$

Шаг 3. Доказательство обратного утверждения

Если:

$$a_0 + a_2 + a_4 + \cdots + a_n = a_1 + a_3 + a_5 + \cdots + a_{n-1},$$

то из формулы для $P(-1)$:

$$P(-1) = (a_0 + a_2 + \cdots + a_n) — (a_1 + a_3 + \cdots + a_{n-1}) = 0.$$

Заключение

Мы показали эквивалентность:

$$P(-1) = 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; a_0 + a_2 + \cdots + a_n = a_1 + a_3 + \cdots + a_{n-1}.$$

Что и требовалось доказать.