ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 213 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если сумма коэффициентов многочлена P(x) равна нулю, то одним из корней уравнения P(x)=0 (и корнем многочлена) является число 1. Докажите обратное утверждение.

Задан многочлен:
P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀;

Если P(1) = 0, тогда a_n + a_n-1 + … + a₁ + a₀ = 0;
Если a_n + a_n-1 + … + a₁ + a₀ = 0, тогда P(1) = 0;
Что и требовалось доказать.

Задан многочлен:

$$P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$$

Необходимо доказать следующее утверждение:

$$P(1)=a_n+a_{n-1}+\cdots +a_1+a_0$$

А значит:

• Если $P(1)=0$, то $a_n+a_{n-1}+\cdots +a_1+a_0=0$
• Если $a_n+a_{n-1}+\cdots +a_1+a_0=0$, то $P(1)=0$

Шаг 1. Подстановка $x=1$

Подставим в выражение:

$$P(1)=a_n\cdot 1^n+a_{n-1}\cdot 1^{n-1}+\cdots +a_1\cdot 1+a_0$$

Так как любое число в степени 1 равно самому себе, получаем:

$$P(1)=a_n+a_{n-1}+\cdots +a_1+a_0$$

Шаг 2. Вывод из равенства

Таким образом, значение многочлена при $x=1$ — это просто сумма всех его коэффициентов.

Отсюда логически следуют два утверждения:

• Если $P(1)=0$, то сумма коэффициентов равна нулю
• Если сумма коэффициентов равна нулю, то и $P(1)=0$

Шаг 3. Объяснение таблицы

В таблице записаны коэффициенты многочлена по строкам:

• В первой строке — сами коэффициенты: $a_n,a_{n-1},\dots ,a_1,a_0$
• Во второй строке — поэтапно складываются коэффициенты:
  • Сначала $a_n$
  • Потом $a_n+a_{n-1}$
  • Потом $a_n+a_{n-1}+a_{n-2}$
  • И так далее
  • Последняя ячейка — это сумма всех коэффициентов: $a_n+a_{n-1}+\cdots +a_0$

Шаг 4. Итоговое заключение

Значение многочлена $P(x)$ при $x=1$ — это сумма всех коэффициентов.

Следовательно:

• Если $P(1)=0$, то сумма коэффициентов равна нулю
• Если сумма коэффициентов равна нулю, то $P(1)=0$

Ответ:

Что и требовалось доказать.