ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 207 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях а произведение многочленов x^3+a^2x^2+4a и x^3+3x^2-x тождественно равно многочлену стандартного вида, не содержащему: а) x^4; б) x^3?

Произведение многочленов:
\[
(x^3 + a^2x^2 + 4a) \cdot (x^3 + 3x^2 — x) =
\]

\[
= x^6 + 3x^5 — x^4 + a^2x^5 + 3a^2x^4 — a^2x^3 + 4ax^3 + 12ax^2 — 4ax =
\]

\[
= x^6 + (3 + a^2)x^5 + (3a^2 — 1)x^4 + (4a — a^2)x^3 + 12ax^2 — 4ax;
\]

а) Не содержит члена \(x^4\):
\[
3a^2 — 1 = 0, \quad 3a^2 = 1;
\]
\[
a^2 = \frac{1}{3}, \quad a = \pm \frac{\sqrt{3}}{3};
\]

Ответ:
\[
\pm \frac{\sqrt{3}}{3}.
\]

б) Не содержит члена \(x^3\):
\[
4a — a^2 = 0, \quad a(4 — a) = 0;
\]

\[
a = 0, \quad a = 4;
\]

Ответ:
\[
0; \ 4.
\]

Задано произведение многочленов:

\( (x^3 + a^2x^2 + 4a) \cdot (x^3 + 3x^2 — x) \)

Шаг 1: Перемножим два многочлена, раскрывая скобки:

\[
(x^3 + a^2x^2 + 4a) \cdot (x^3 + 3x^2 — x) = x^6 + 3x^5 — x^4 +\]

\[a^2x^5 + 3a^2x^4 — a^2x^3 + 4ax^3 + 12ax^2 — 4ax.
\]

Шаг 2: Собираем похожие слагаемые:

\[
= x^6 + (3 + a^2)x^5 + (3a^2 — 1)x^4 + (4a — a^2)x^3 + 12ax^2 — 4ax.
\]

а) Не содержит члена \(x^4\):

Для того чтобы не было члена \(x^4\), приравняем коэффициент при \(x^4\) к нулю:

\[
3a^2 — 1 = 0, \quad 3a^2 = 1;
\]

Решаем относительно \(a\):

\[
a^2 = \frac{1}{3}, \quad a = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}.
\]

Ответ: \( \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \).

б) Не содержит члена \(x^3\):

Для того чтобы не было члена \(x^3\), приравняем коэффициент при \(x^3\) к нулю:

\[
4a — a^2 = 0, \quad a(4 — a) = 0;
\]

Решаем относительно \(a\):

\[
a = 0, \quad a = 4.
\]

Ответ: \( 0; \ 4 \).