ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 203 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что не имеет рациональных корней уравнение:

а) x^5-x^2+3=0; б) x^5-3x^3+x-2=0.

Нет рациональных корней:

a)
\[
x^5 — x^2 + 3 = 0;
\]

\[
y(1) = 1 — 1 + 3 = 3;
\]

\[
y(-1) = -1 — 1 + 3 = 1;
\]

\[
y(3) = 243 — 9 + 3 = 237;
\]

\[
y(-3) = -243 — 9 + 3 = -249;
\]

Что и требовалось доказать.

б)
\[
x^5 — 3x^3 + x — 2 = 0;
\]

\[
y(1) = 1 — 3 + 1 — 2 = -3;
\]

\[
y(-1) = -1 + 3 — 1 — 2 = -1;
\]

\[
y(2) = 32 — 24 + 2 — 2 = 8;
\]

\[
y(-2) = -32 + 24 — 2 + 2 = -8;
\]

Что и требовалось доказать.

Заданы уравнения:

a) \( x^5 — x^2 + 3 = 0 \)

Шаг 1: Подставляем \( x = 1 \) в уравнение:

\[
y(1) = 1^5 — 1^2 + 3 = 1 — 1 + 3 = 3.
\]

Шаг 2: Подставляем \( x = -1 \) в уравнение:

\[
y(-1) = (-1)^5 — (-1)^2 + 3 = -1 — 1 + 3 = 1.
\]

Шаг 3: Подставляем \( x = 3 \) в уравнение:

\[
y(3) = 3^5 — 3^2 + 3 = 243 — 9 + 3 = 237.
\]

Шаг 4: Подставляем \( x = -3 \) в уравнение:

\[
y(-3) = (-3)^5 — (-3)^2 + 3 = -243 — 9 + 3 = -249.
\]

Шаг 5: Мы видим, что при подстановке \( x = 1, x = -1, x = 3, x = -3 \) не получаем нулей, следовательно, рациональных корней нет.

Ответ: нет рациональных корней.

б) \( x^5 — 3x^3 + x — 2 = 0 \)

Шаг 1: Подставляем \( x = 1 \) в уравнение:

\[
y(1) = 1^5 — 3 \cdot 1^3 + 1 — 2 = 1 — 3 + 1 — 2 = -3.
\]

Шаг 2: Подставляем \( x = -1 \) в уравнение:

\[
y(-1) = (-1)^5 — 3 \cdot (-1)^3 + (-1) — 2 = -1 + 3 — 1 — 2 = -1.
\]

Шаг 3: Подставляем \( x = 2 \) в уравнение:

\[
y(2) = 2^5 — 3 \cdot 2^3 + 2 — 2 = 32 — 24 + 2 — 2 = 8.
\]

Шаг 4: Подставляем \( x = -2 \) в уравнение:

\[
y(-2) = (-2)^5 — 3 \cdot (-2)^3 + (-2) — 2 = -32 + 24 — 2 — 2 = -8.
\]

Шаг 5: Мы видим, что при подстановке \( x = 1, x = -1, x = 2, x = -2 \) не получаем нулей, следовательно, рациональных корней нет.

Ответ: нет рациональных корней.