ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 2 Номер 199 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите замену переменной, при которой кубическое уравнение ax^3+bx^2+cx+d=0 сводится к приведённому кубическому уравнению вида x^3+px+q=0.

Кубическое уравнение:
\[
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0;
\]

\[
x^3 + \frac{b}{a}x^2 + \frac{c}{a}x + \frac{d}{a} = 0;
\]

Пусть \(x = y — t\), тогда:
\[(y — t)^3 + \frac{b}{a}(y — t)^2 + \frac{c}{a}(y — t) + \frac{d}{a} = 0;
\]

\[
y^3 — 3ty^2 + 3t^2y — t^3 + \frac{b}{a}(y^2 — 2yt + t^2) + \frac{c}{a}(y — t) + \frac{d}{a} = 0;
\]

\[
y^3 — 3ty^2 + 3t^2y — t^3 + \frac{b}{a}y^2 — \frac{2b}{a}yt + \frac{b}{a}t^2 + \frac{c}{a}y — \frac{c}{a}t + \frac{d}{a} = 0;
\]

\[
y^3 + \left(\frac{b}{a} — 3t\right)y^2 + \left(3t^2 — \frac{2b}{a}t + \frac{c}{a}\right)y — t^3 — \frac{c}{a}t + \frac{d}{a} = 0;
\]

\[
t = -\frac{b}{3a};
\]

Ответ:
\[
x = y — \frac{b}{3a}.
\]

Дано кубическое уравнение:

\( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \)

Шаг 1: Перепишем уравнение в виде:

\[
x^3 + \frac{b}{a}x^2 + \frac{c}{a}x + \frac{d}{a} = 0.
\]

Шаг 2: Пусть \( x = y — t \), подставим это в уравнение:

\[
(y — t)^3 + \frac{b}{a}(y — t)^2 + \frac{c}{a}(y — t) + \frac{d}{a} = 0.
\]

Шаг 3: Раскроем куб и квадрат в уравнении. Для куба \( (y — t)^3 \) используем формулу бинома:

\[
(y — t)^3 = y^3 — 3ty^2 + 3t^2y — t^3.
\]

Для квадрата \( (y — t)^2 \) используем формулу:

\[
(y — t)^2 = y^2 — 2yt + t^2.
\]

Подставляем раскрытые выражения в уравнение:

\[
y^3 — 3ty^2 + 3t^2y — t^3 + \frac{b}{a}(y^2 — 2yt + t^2) + \frac{c}{a}(y — t) + \frac{d}{a} = 0.
\]

Шаг 4: Раскроем скобки и соберем все члены:

\[
y^3 — 3ty^2 + 3t^2y — t^3 + \frac{b}{a}y^2 — \frac{2b}{a}yt + \frac{b}{a}t^2 + \frac{c}{a}y — \frac{c}{a}t + \frac{d}{a} = 0.
\]

Шаг 5: Сгруппируем все коэффициенты перед степенями \( y \):

\[
y^3 + \left(\frac{b}{a} — 3t\right)y^2 + \left(3t^2 — \frac{2b}{a}t + \frac{c}{a}\right)y — t^3 — \frac{c}{a}t + \frac{d}{a} = 0.
\]

Шаг 6: Установим значение \( t \), чтобы упростить уравнение и привести его к стандартному виду для решения. Для этого из уравнения получаем:

\[
t = -\frac{b}{3a}.
\]

Ответ: \( x = y — \frac{b}{3a} \).