ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 9 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Возрастающей или убывающей является функция:

а) ?(x)=v(x+1)-v(x-1); б) g(x)=6x-|3x-2|-|2x+5|?

Возрастает ли функция:

a) \( \varphi(x) = \sqrt{x + 1} — \sqrt{x — 1} \)
Если \( x = 1 \), тогда:

\[
\varphi(1) = \sqrt{2} + \sqrt{0} = \sqrt{2}.
\]

Если \( x = 3 \), тогда:
\[
\varphi(3) = \sqrt{4} — \sqrt{2} = 2 — \sqrt{2}.
\]

Сравним значения:
\[
\varphi(3) — \varphi(1) = 2(1 — \sqrt{2}) < 0.
\]

Ответ: убывает.

b) \( g(x) = 6x — |3x — 2| — |2x + 5| \)
Если \( x = 1 \), тогда:
\[
g(1) = 6 — |3 \cdot 1 — 2| — |2 \cdot 1 + 5|;
\]

\[
g(1) = 6 — 1 — 7 = 6 — 8 = -2.
\]

Если \( x = 2 \), тогда:
\[
g(2) = 12 — |6 — 2| — |4 + 5|;
\]

\[
g(2) = 12 — 4 — 9 = 8 — 9 = -1.
\]

Ответ: возрастает.

Задание: Возрастает ли функция?

a) Функция: \( \varphi(x) = \sqrt{x + 1} — \sqrt{x — 1} \)

Рассмотрим поведение функции для различных значений \(x\). Начнем с вычисления значений функции в точках \(x = 1\) и \(x = 3\), чтобы проверить монотонность функции.

Если \( x = 1 \), тогда:

Подставляем \( x = 1 \) в выражение функции:

\[
\varphi(1) = \sqrt{1 + 1} — \sqrt{1 — 1} = \sqrt{2} — 0 = \sqrt{2}.
\]

Таким образом, \( \varphi(1) = \sqrt{2} \), что примерно равно 1.414.

Если \( x = 3 \), тогда:

Теперь подставим \( x = 3 \) в выражение функции:

\[
\varphi(3) = \sqrt{3 + 1} — \sqrt{3 — 1} = \sqrt{4} — \sqrt{2} = 2 — \sqrt{2}.
\]

Приблизительно, \( \sqrt{2} \approx 1.414 \), и следовательно, \( \varphi(3) = 2 — 1.414 \approx 0.586 \).

Сравним значения:

Теперь сравним значения функции в точках \(x = 3\) и \(x = 1\):

\[
\varphi(3) — \varphi(1) = (2 — \sqrt{2}) — \sqrt{2} =\]

\[2 — 2\sqrt{2} \approx 2 — 2 \cdot 1.414 = 2 — 2.828 = -0.828.
\]

Так как разница отрицательна, это означает, что функция убывает на интервале между \(x = 1\) и \(x = 3\).

Ответ: Функция \( \varphi(x) = \sqrt{x + 1} — \sqrt{x — 1} \) убывает на интервале \( (1, 3) \).

b) Функция: \( g(x) = 6x — |3x — 2| — |2x + 5| \)

Теперь рассмотрим функцию \( g(x) \) и вычислим значения функции для различных значений \(x\), чтобы проверить монотонность функции.

Если \( x = 1 \), тогда:

Подставляем \( x = 1 \) в выражение функции:

\[
g(1) = 6 \cdot 1 — |3 \cdot 1 — 2| — |2 \cdot 1 + 5| =\]

\[6 — |3 — 2| — |2 + 5| = 6 — 1 — 7 = -2.
\]

Таким образом, \( g(1) = -2 \).

Если \( x = 2 \), тогда:

Подставляем \( x = 2 \) в выражение функции:

\[
g(2) = 6 \cdot 2 — |3 \cdot 2 — 2| — |2 \cdot 2 + 5| =\]

\[12 — |6 — 2| — |4 + 5| = 12 — 4 — 9 = -1.
\]

Таким образом, \( g(2) = -1 \).

Сравним значения:

Теперь сравним значения функции в точках \(x = 1\) и \(x = 2\):

\[
g(2) — g(1) = -1 — (-2) = -1 + 2 = 1.
\]

Поскольку разница положительная, это означает, что функция возрастает на интервале между \(x = 1\) и \(x = 2\).

Ответ: Функция \( g(x) = 6x — |3x — 2| — |2x + 5| \) возрастает на интервале \( (1, 2) \).